de fois ; et, par la même raison, il faudra aussi qu’une même combinaison de termes correspondants dans les deux séries revienne une infinité de fois ; d’où il s’ensuit qu’on aura nécessairement, par exemple,
![{\displaystyle \mathrm {E} _{\gamma +\delta +\nu }=\mathrm {E} _{\gamma +\delta }\quad {\text{et}}\quad \varepsilon _{\gamma +\delta +\nu }=\varepsilon _{\gamma +\delta },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cd9c01564ae25d9da0056a44253e8def061f197)
ou bien, faisant ![{\displaystyle \gamma +\delta =\mu ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c72e789ab3e01340e9ff99a24d7d7498d1dee9c8)
![{\displaystyle \mathrm {E} _{\mu +\nu }=\mathrm {E} _{\mu }\quad {\text{et}}\quad \varepsilon _{\mu +\nu }=\varepsilon _{\mu }\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df392fa0f9276789d2bcbaf62b29183b0739d346)
donc, à cause de
![{\displaystyle \mathrm {B=\varepsilon _{\mu }^{2}+E_{\mu }E_{\mu +1}=\varepsilon _{\mu +\nu }^{2}+E_{\mu +\nu }E_{\mu +\nu +1}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c5e7be051271ba196b732f0b848c487acf0cb28)
on aura aussi
![{\displaystyle \mathrm {E} _{\mu +\nu +1}=\mathrm {E} _{\mu +1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eba034d365c6194c76a4e01db2ec922930b7b107)
mais on a
![{\displaystyle x_{\mu }=\mathrm {\frac {\varepsilon _{\mu }+{\sqrt {B}}}{E_{\mu +1}}} \quad {\text{et}}\quad x_{\mu +\nu }=\mathrm {\frac {\varepsilon _{\mu +\nu }+{\sqrt {B}}}{E_{\mu +\nu +1}}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e7b50b32513735544bbc14befd7ce6d3a80778)
donc
donc la fraction continue sera nécessairement périodique (no 48).
54. En effet, on voit, par les formules du no 52, que si l’on a
![{\displaystyle \mathrm {E} _{\mu +\nu }=\mathrm {E} _{\mu }\quad {\text{et}}\quad \varepsilon _{\mu +\nu }=\varepsilon _{\mu },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59bcf26b58823bcde3340094fd67b174579d8562)
on aura
![{\displaystyle \mathrm {E} _{\mu +\nu +1}=\mathrm {E} _{\mu +1},\quad \lambda _{\mu +\nu +1}=\lambda _{\mu +1},\quad \varepsilon _{\mu +\nu +1}=\varepsilon _{\mu +1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7205b81db7b47f3cfee139868a3bf282a62acfeb)
et ainsi de suite ; de sorte qu’en général les termes des trois séries
![{\displaystyle \mathrm {E,\ \ E_{1},\ \ E_{2}} ,\ \ \ldots ,\quad \varepsilon ,\ \ \varepsilon _{1},\ \ \varepsilon _{2},\ \ \ldots ,\quad \lambda _{1},\ \ \lambda _{2},\ \ \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ef98b0a6b53fab02630548e4df73135f052cf6a)
qui auront pour exposant
seront les mêmes que les termes précédents dont les exposants seront
en prenant pour
un nombre quelconque entier positif.
Ainsi chacune de ces trois séries deviendra périodique, à commencer par les termes
et leurs périodes seront de
termes, après lesquels les mêmes termes reviendront dans le même ordre, à l’infini.