nécessairement à des transformées comme
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {E} _{\gamma +1}x_{\gamma }^{2}-2\varepsilon _{\gamma }x_{\gamma }-\mathrm {E} _{\gamma }=0,\\&\mathrm {E} _{\gamma +2}x_{\gamma +1}^{2}-2\varepsilon _{\gamma +1}x_{\gamma +1}-\mathrm {E} _{\gamma +1}=0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d7b4b59654ac5e66392571c1b470f3fd4709286)
dont les premiers et derniers termes seront de signes différents de sorte que les nombres
![{\displaystyle \mathrm {E_{\gamma },\quad E_{\gamma +1},\quad E_{\gamma +2}} ,\quad \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/479d8f8dc894a725710a8b50f545dd3aba4cec8a)
seront tous de même signe. Or on a (no 52)
![{\displaystyle \mathrm {B=\varepsilon _{\gamma }^{2}+E_{\gamma }E_{\gamma +1}=\varepsilon _{\gamma +1}^{2}+E_{\gamma +1}E_{\gamma +2}} =\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27e2ecfd09c1331dcadf8f98ef67e48cdc907f45)
donc, puisque
sont de même signe, les produits
seront nécessairement positifs ; d’où il s’ensuit :
1o Oue l’on aura
![{\displaystyle \varepsilon _{\gamma }^{2}<\mathrm {B} ,\quad \varepsilon _{\gamma +1}^{2}<\mathrm {B} ,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/081093a71be8d761552e10b9c3e936b9a4d6dd81)
c’est-à-dire (en faisant abstraction du signe)
![{\displaystyle \varepsilon _{\gamma }<{\sqrt {\mathrm {B} }},\quad \varepsilon _{\gamma +1}<{\sqrt {\mathrm {B} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0081cc1e85fa3faac74454dc2e8a5fce4b84a09)
et ainsi de suite à l’infini ;
2o Que l’on aura aussi, à cause que les nombres
sont tous entiers
![{\displaystyle \mathrm {E_{\gamma }<\mathrm {B} ,\quad E_{\gamma +1}<\mathrm {B} ,\quad E_{\gamma +2}<B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a9d64b9b952b549c9fe94e726b232837828a8f2)
et ainsi de suite. Donc, comme
est donné, il est clair qu’il n’y aura qu’un certain nombre de nombres entiers qui pourront être moindres que
et que
de sorte que les nombres
![{\displaystyle \mathrm {E_{\gamma },\ \ E_{\gamma +1},\ \ E_{\gamma +2}} ,\ \ \ldots ,\ \ \varepsilon _{\gamma },\ \ \varepsilon _{\gamma +1},\ \ \varepsilon _{\gamma +2},\ \ \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0977c3e8187ec288ae5f3a78c8e87f26fd4428af)
ne pourront avoir qu’un certain nombres de valeurs différentes, et qu’ainsi dans l’une et l’autre de ces séries, si on les pousse à l’infini, il faudra nécessairement que les mêmes termes reviennent une infinité