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50. En effet, supposons, pour abréger,

${\begin{aligned}l_{\mu }\,\ \mathrm {P} +l_{\mu -1}\,\ =&f_{\mu },\\\mathrm {L_{\mu }\,P+L_{\mu -1}} =&\mathrm {F} _{\mu },\\\mathrm {H_{\nu }P+H_{\nu -1}} =&\mathrm {K} _{\nu }\,;\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&l_{\rho }\mathrm {H} _{\varpi -1}-l_{\rho -1}\mathrm {H} _{\varpi }=\\&\pm {\frac {\left(f_{\mu }+l_{\mu }{\sqrt {\mathrm {Q} }}\right)\mathrm {\left(K_{\nu }+H_{\nu }{\sqrt {Q}}\right)} ^{n}-\left(f_{\mu }-l_{\mu }{\sqrt {\mathrm {Q} }}\right)\mathrm {\left(K_{\nu }-H_{\nu }{\sqrt {Q}}\right)} ^{n}}{2{\sqrt {\mathrm {Q} }}}},\\&l_{\rho -1}h_{\varpi }-l_{\rho }h_{\varpi -1}=\pm {\frac {\begin{aligned}&\mathrm {\left(P+{\sqrt {Q}}\right)} \left(f_{\mu }-l_{\mu }{\sqrt {Q}}\right)\mathrm {\left(K_{\nu }-H_{\nu }{\sqrt {Q}}\right)} ^{n}\\-&\mathrm {\left(P-{\sqrt {Q}}\right)} \left(f_{\mu }+l_{\mu }{\sqrt {\mathrm {Q} }}\right)\mathrm {\left(K_{\nu }+H_{\nu }{\sqrt {Q}}\right)} ^{n}\end{aligned}}{2{\sqrt {\mathrm {Q} }}}},\\&\mathrm {L_{\rho }H_{\varpi -1}-L_{\rho -1}H_{\varpi }} =\\&\pm {\frac {\mathrm {\left(F_{\mu }+L_{\mu }{\sqrt {Q}}\right)\left(K_{\nu }+H_{\nu }{\sqrt {Q}}\right)} ^{n}-\mathrm {\left(F_{\mu }-L_{\mu }{\sqrt {Q}}\right)\left(K_{\nu }-H_{\nu }{\sqrt {Q}}\right)} ^{n}}{2{\sqrt {\mathrm {Q} }}}},\\&\mathrm {L} _{\rho -1}h_{\varpi }-\mathrm {L} _{\rho }h_{\varpi -1}=\pm {\frac {\begin{aligned}&\mathrm {\left(P+{\sqrt {Q}}\right)\left(F_{\mu }-L_{\mu }{\sqrt {Q}}\right)\left(K_{\nu }-H_{\nu }{\sqrt {Q}}\right)} ^{n}\\-&\mathrm {\left(P-{\sqrt {Q}}\right)\left(F_{\mu }+L_{\mu }{\sqrt {Q}}\right)\left(K_{\nu }+H_{\nu }{\sqrt {Q}}\right)} ^{n}\end{aligned}}{2{\sqrt {\mathrm {Q} }}}}.\end{aligned}}$

Donc, si l’on ajoute la première multipliée par $h_{\varpi }$ à la deuxième multipliée par $\mathrm {H} _{\varpi },$ et de même la troisième multipliée par $h_{\varpi }$ à la quatrième multipliée par $\mathrm {H} _{\varpi },$ et qu’on fasse, pour abréger,

$-\mathrm {H_{\varpi }P} +h_{\varpi }=\mathrm {G} _{\varpi },$

on aura, à cause de $h_{\varpi }\mathrm {H} _{\varpi -1}-\mathrm {H} _{\varpi }h_{\varpi -1}=\pm 1$ (n^o 49),

${\begin{aligned}l_{\rho }\ =&{\frac {\begin{aligned}&\left(f_{\mu }+l_{\mu }{\sqrt {\mathrm {Q} }}\right)\mathrm {\left(G_{\varpi }+H_{\varpi }{\sqrt {Q}}\right)\left(K_{\nu }+H_{\nu }{\sqrt {Q}}\right)} ^{n}\\-&\left(f_{\mu }-l_{\mu }{\sqrt {\mathrm {Q} }}\right)\mathrm {\left(G_{\varpi }-H_{\varpi }{\sqrt {Q}}\right)\left(K_{\nu }-H_{\nu }{\sqrt {Q}}\right)} ^{n}\end{aligned}}{2{\sqrt {\mathrm {Q} }}}},\\\mathrm {L} _{\rho }=&{\frac {\begin{aligned}&\mathrm {\left(F_{\mu }+L_{\mu }{\sqrt {Q}}\right)\left(G_{\varpi }+H_{\varpi }{\sqrt {Q}}\right)\left(K_{\nu }+H_{\nu }{\sqrt {Q}}\right)} ^{n}\\-&\mathrm {\left(F_{\mu }-L_{\mu }{\sqrt {Q}}\right)\left(G_{\varpi }-H_{\varpi }{\sqrt {Q}}\right)\left(K_{\nu }-H_{\nu }{\sqrt {Q}}\right)} ^{n}\end{aligned}}{2{\sqrt {\mathrm {Q} }}}},\end{aligned}}$

$\rho$ étant égal à $\mu +n\nu +\varpi .$

Ainsi, lorsqu’à l’aide des quantités

$\lambda _{1},\ \ \lambda _{2},\ \ \lambda _{3},\ \ \ldots ,\ \ \lambda _{\mu +\nu },$

on aura calculé, par les formules (A) et (G), les quantités

$l,\ \ l_{1},\ \ l_{2},\ \ \ldots ,\quad \mathrm {L,\ \ L_{1},\ \ L_{2}} ,\ \ \ldots ,$