mettons au lieu de
dans le second membre de cette équations, sa valeur
et, multipliant par
on aura
![{\displaystyle xx_{1}x_{2}=(\lambda _{2}l_{1}+l)x_{2}+l_{1}=l_{2}x_{2}+l_{1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c130710c26c9b8f3da0e3baf500669bded02a42)
on trouvera de même, en substituant dans le second membre de cette équation
à la place de ![{\displaystyle x_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e66e41f50371ed4b1910b485f2e2d0eb28f11533)
![{\displaystyle xx_{1}x_{2}x_{3}=l_{3}x_{3}+l_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbf13d16d00188c674248da2d1702885bd10ed02)
et ainsi de suite.
Pareillement l’équation
![{\displaystyle x_{1}=\lambda _{2}+{\frac {1}{x_{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91e4c1972719b8bfc2f35f24701bb60169efc606)
donnera
![{\displaystyle x_{1}x_{2}=\lambda _{2}x_{2}+1=\mathrm {L} _{2}x_{2}+\mathrm {L} _{1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f954da7fdd13fb6a12ca827a1fcb707dbe2a2c3)
ensuite, substituant dans le second mémbre
à la place de
et multipliant par
on aura
![{\displaystyle x_{1}x_{2}x_{3}=(\lambda _{3}\mathrm {L_{2}+L_{1}} )x_{3}+\mathrm {L} _{2}=\mathrm {L} _{3}x_{3}+\mathrm {L} _{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7131d9560f7d5adce686e3f247effd0d98f26252)
et ainsi de suite.
D’où il s’ensuit qu’on aura en général, quelle que soit la fraction continue, soit périodique ou non,
(B)
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48. Cela posé, supposons que l’on ait trouvé, par exemple,
![{\displaystyle x_{\mu +\nu }=x_{\mu },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eb71173b9216a054febaccf4202b3a9a1baf76)
c’est-à-dire que la racine de la
ième transformée soit égale à celle de la transformée
ième ; alors on aura aussi
![{\displaystyle x_{\mu +\nu +1}=x_{\mu +1},\quad x_{\mu +\nu +2}=x_{\mu +2},\quad \ldots ,\quad x_{\mu +2\nu }=x_{\mu },\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94392c167e44f5d4280d181e2d6d1e0a2c1d7f6d)
et en général
![{\displaystyle x_{\mu +n\nu +\varpi }=x_{\mu +\varpi }\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ce044544d1df3561a487f19a975b3b1e4c68963)