l’équation des différences sera ici du degré
et l’on trouvera par la même méthode
![{\displaystyle \upsilon ^{3}-a\upsilon ^{2}+b\upsilon -c=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f73f8d6eb100f41aa54a593cc46c04b6b1839be)
où
![{\displaystyle {\begin{aligned}4\,\ a=&2\mathrm {\left(A^{2}-3B\right)} ,\\4^{2}b=&\ \ \mathrm {\left(A^{2}-3B\right)} ^{2},\\4^{3}c=&\mathrm {\frac {4\left(A^{2}-3B\right)\left(B^{2}-3AC\right)-(9C-AB)^{2}}{3}} \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/187726ef9bf551b847f60d861078b2b6879d5911)
donc, pour que les racines soient toutes réelles, il faudra que l’on ait
1
o![{\displaystyle \quad \mathrm {A^{2}-3B} >0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c6b20ac144578837d5b5fbc5aa2ba1fb54411ff)
2
o![{\displaystyle \quad 4\mathrm {\left(A^{2}-3B\right)\left(B^{2}-3AC\right)-(9C-AB)^{2}} >0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/348924fbc7e695bc9b0a8b8f8336a70ce77cd8af)
Si l’une de ces deux conditions manque, l’équation aura deux racines imaginaires.
39. Soit maintenant proposée l’équation générale du quatrième degré
![{\displaystyle x^{4}+\mathrm {B} x^{2}-\mathrm {C} x+\mathrm {D} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80042debb43e386ec475f5e7d8956913d770b887)
dont le second terme est évanoui, pour plus de simplicité le degré de l’équation des différences sera
de sorte que cette équation sera
![{\displaystyle \upsilon ^{6}-a\upsilon ^{5}+b\upsilon ^{4}-c\upsilon ^{3}+d\upsilon ^{2}-e\upsilon +f=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7543ecb486b258e76dc8405c03beae183c528015)
où l’on trouvera par la même méthode
![{\displaystyle {\begin{aligned}4\,\ a=&-8\mathrm {B} ,\\4^{2}b=&22\mathrm {B^{2}+8D} ,\\4^{3}c=&-18\mathrm {B^{3}+16BD+26^{2}C} ,\\4^{4}d=&17\mathrm {B^{4}+24B^{2}D-7.16D^{2}+3.16BC^{2}} ,\\4^{5}e=&-4\mathrm {B^{5}-2.27C^{2}B^{2}-8.27C^{2}D+3.4^{3}BD^{2}-2.4^{2}B^{3}D} ,\\4^{6}f=&4^{4}\mathrm {D^{3}-2^{3}.4^{2}B^{2}D^{2}+4^{2}.3^{2}C^{2}BD+4^{2}B^{4}D-4C^{2}B^{3}-3^{3}C^{4}} \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f01fcb4eea60a9e716254651bb73dd2bb26654b)
donc, si la quantité
![{\displaystyle 4^{4}\mathrm {D^{3}-2^{3}.4^{2}B^{2}D^{2}+4^{2}.3^{2}C^{2}BD+4^{2}B^{4}D-4C^{2}B^{3}-3^{3}C^{4}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e61dca38c85a8432aeedfef5ccf00572b3d0655)