![{\displaystyle {\begin{array}{rl}\left(\alpha -a+\beta {\sqrt {-1}}\right)^{2},&\left(\alpha -a-\beta {\sqrt {-1}}\right)^{2},\\\left(\alpha -b+\beta {\sqrt {-1}}\right)^{2},&\left(\alpha -b-\beta {\sqrt {-1}}\right)^{2},\\\left(\alpha -c+\beta {\sqrt {-1}}\right)^{2},&\left(\alpha -c-\beta {\sqrt {-1}}\right)^{2},\\\left(\alpha -d+\beta {\sqrt {-1}}\right)^{2},&\left(\alpha -d-\beta {\sqrt {-1}}\right)^{2},\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\\left(\gamma -a+\delta {\sqrt {-1}}\right)^{2},&\left(\gamma -a-\delta {\sqrt {-1}}\right)^{2},\\\left(\gamma -b+\delta {\sqrt {-1}}\right)^{2},&\left(\gamma -b-\delta {\sqrt {-1}}\right)^{2},\\\left(\gamma -c+\delta {\sqrt {-1}}\right)^{2},&\left(\gamma -c-\delta {\sqrt {-1}}\right)^{2},\\\left(\gamma -d+\delta {\sqrt {-1}}\right)^{2},&\left(\gamma -d-\delta {\sqrt {-1}}\right)^{2},\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\\left[\alpha -\gamma +(\beta -\delta ){\sqrt {-1}}\right]^{2},&\left[\alpha -\gamma -(\beta -\delta ){\sqrt {-1}}\right]^{2},\\\left[\alpha -\gamma +(\beta +\delta ){\sqrt {-1}}\right]^{2},&\left[\alpha -\gamma -(\beta +\delta ){\sqrt {-1}}\right]^{2},\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6518442955c4986a393585a92b4962fefa971d4)
lesquels seront, par conséquent, les racines de l’équation des différences.
Soit
le degré de l’équation proposée, qui est égal au nombre des racines
![{\displaystyle a,\ \ b,\ \ c,\ \ \ldots ,\ \ \alpha +\beta {\sqrt {-1}},\ \ \alpha -\beta {\sqrt {-1}},\ \ \gamma +\delta {\sqrt {-1}},\ \ \gamma -\delta {\sqrt {-1}},\ \ \ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ec7fda5a287a2a767116b0208f44b5b41432f55)
celui de l’équation des différences sera (no 8)
![{\displaystyle {\frac {m(m-1)}{2}}=n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9da3f8750339c2810fdf5c4a2dfc741d40375a21)
Soit
le nombre des racines réelles
et
celui des racines imaginaires
![{\displaystyle \alpha +\beta {\sqrt {-1}},\quad \alpha -\beta {\sqrt {-1}},\quad \gamma +\delta {\sqrt {-1}},\quad \gamma -\delta {\sqrt {-1}},\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6a484f1e464bbffd165b004aa55383df2df8875)
en sorte que
il est facile de voir, par la Table précédente, que, parmi les
racines de l’équation des différences, il y en aura nécessairement
de réelles et positives,
de réelles et négatives, et
d’imaginaires.