et, de là,
![{\displaystyle a_{1}=42,\quad a_{2}=882,\quad a_{3}=18669,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd43a07ecbc4fe1fa1113f560ede12396ac74e46)
et enfin
![{\displaystyle a=42,\quad b=441,\quad c=49,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5023ea013dbec0d9fae7c866f87b0af1e316b2a8)
de sorte que l’équation en
sera
![{\displaystyle \upsilon ^{3}-42\upsilon ^{2}+441\upsilon -49=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0f3042e3f4b9ce958f4e75fd4577eb817c2329c)
Puisque les signes de cette équation sont alternatifs, c’est une marque que la proposée peut avoir toutes ses racines réelles (no 16) ; et, comme d’ailleurs cette équation n’est point divisible par
il s’ensuit que l’équation en
n’aura point de racines égales (no 15).
On fera maintenant (no 11)
et, ordonnant l’équation par rapport à
on aura
![{\displaystyle y^{3}-9y^{2}+{\frac {42}{49}}y-{\frac {1}{49}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19097b67f0b4a441e09f239824b8af14fb2ff0e3)
Le plus grand coefficient négatif étant
on pourrait prendre
(no 12) mais on peut trouver une limite plus rapprochée en cherchant le plus petit nombre entier qui rendra positives ces trois quantités
![{\displaystyle {\begin{aligned}l^{3}&-9l^{2}+{\frac {42}{49}}l-{\frac {1}{49}},\\3l^{2}&-18l+{\frac {42}{49}},\\3l&-9,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c5d0c9510f6bc9c92ad928926951993ecc51b1a)
et l’on trouvera que
satisfait à ces conditions ; de sorte qu’on aura
(no 11), et par conséquent ![{\displaystyle \Delta ={\frac {1}{3}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c7cbe6f2997f6e892ace9b9a5d3dae52571d604)
On mettra donc (no 13, 2o), dans l’équation proposée,
à la place de
ce qui la réduira à celle-ci :
![{\displaystyle x^{3}-63x+189=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71cc657cb818717ac36d15cdd843257cc8203036)