changeant
en
et changeant ensuite tous les signes, on aura
![{\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {W}}\displaystyle ^{3}+12\scriptstyle {\mathcal {W}}\displaystyle ^{2}+36\scriptstyle {\mathcal {W}}\displaystyle -643=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac760af625ac22367bb4daef4e7a0a9210f9a533)
et il ne s’agira plus que de chercher une racine réelle et positive de cette équation. Or, puisqu’elle a son dernier terme négatif, elle aura nécessairement une telle racine, dont on pourra trouver la valeur entière la plus approchée par la substitution successive des nombres naturels
(no 3). En effet, en faisant
on aura le résultat
et en faisant
on aura
ainsi la valeur entière la plus approchée de la racine positive de cette équation sera ![{\displaystyle 5.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62cfda82378d02d6ff65a09e66873314c7013888)
On fera donc maintenant
et, en substituant, on aura, après avoir changé les signes,
![{\displaystyle 38u^{3}-231u^{2}-27u-1=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e916deb9059d7bf22241d6297122aa8daad89782)
Faisant successivement
on trouvera, pour
et
les résultats
donc
sera la valeur entière approchée de
.
On fera donc
et l’on aura, en substituant et changeant les signes,
![{\displaystyle 271x^{3}-1305x^{2}-453x-38=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3999b38ff19f712223d9bf94a64fd0e15e815aca)
En faisant successivement
on trouvera des résultats négatifs jusqu’à la supposition de
qui donne
pour résultat, de sorte que
sera la valeur entière approchée de ![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
On fera donc
substituant et réduisant, on aura
![{\displaystyle 1053y^{3}-6822y^{2}-2760y-271=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fef4950eabcca24f800405701be7c5dda02d02ae)
et l’on trouvera
pour la valeur approchée de
, et ainsi de suite.
De cette manière, on approchera de plus en plus de la valeur de
laquelle se trouvera exprimée par la fraction continue
![{\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {W}}\displaystyle =5+{\frac {1}{6+{\cfrac {1}{5+{\cfrac {1}{6+\ddots }}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e2162ab3959a5f2e63db41c6a4ea2dd4c350a34)