et supposant
j’aurai les résultats
donc
et ainsi de suite.
En continuant de cette manière, on trouvera les nombres
![{\displaystyle 2,\ \ 10,\ \ 1,\ \ 1,\ \ 2,\ \ 1,\ \ 3,\ \ 1,\ \ 1,\ \ 12,\ \ \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9ccd36c75b19d9c2ab78f6146278fdc7924036e)
de sorte que la racine cherchée sera exprimée par cette fraction continue
![{\displaystyle x=2+{\frac {1}{10+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1+}{2+\ddots }}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d08ee0037dd08767f04e244b280774c5a6415812)
d’où l’on tirera les fractions (no 23)
![{\displaystyle {\frac {2}{1}},\ \ {\frac {21}{10}},\ \ {\frac {23}{11}},\ \ {\frac {44}{21}},\ \ {\frac {111}{53}},\ \ {\frac {155}{74}},\ \ {\frac {576}{275}},\ \ {\frac {731}{349}},\ \ {\frac {1307}{624}},\ \ {\frac {16415}{7837}},\ \ \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3f8d3f997363258f111c55267b34dfb431c5262)
lesquelles seront alternativement plus petites et plus grandes que la valeur de
.
La dernière fraction
est plus grands que la racine cherchée ; mais l’erreur sera moindre que
(no 23, 2o), c’est-à-dire moindre que
donc, si l’on réduit la fraction
en fraction décimale, elle sera exacte jusqu’à la septième décimale ; or, en faisant la division, on trouve
ainsi la racine cherchée sera entre les nombres
et
Newton a trouvé par sa méthode la fraction
(voir sa Méthode des suites infinies), d’où l’on voit que cette méthode donne dans ce cas un résultat fort exact ; mais on aurait tort de se promettre toujours une pareille exactitude.
26. Quant aux deux autres racines de la même équation nous avons déjà vu qu’elles doivent être imaginaires ; néanmoins, si l’on voulait en trouver la valeur, on le pourrait par la méthode du no 17.
Pour cela, on reprendra l’équation en
trouvée ci-dessus, et, en y