2o Qu’on aura
![{\displaystyle {\frac {\beta }{\beta '}}-{\frac {\alpha }{\alpha '}}={\frac {1}{\alpha '\beta '}},\quad {\frac {\beta }{\beta '}}-{\frac {\gamma }{\gamma '}}={\frac {1}{\beta '\gamma '}},\quad {\frac {\delta }{\delta '}}-{\frac {\gamma }{\gamma '}}={\frac {1}{\gamma '\delta '}},\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e886ffcde60a43ccd76e08aaad86874f32bfbb3a)
de sorte que les fractions
![{\displaystyle {\frac {\alpha }{\alpha '}},\quad {\frac {\beta }{\beta '}},\quad {\frac {\gamma }{\gamma '}},\quad \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0c791e807665dcb6d799b58a8bc2a387860c5ec)
ne peuvent jamais différer de la vraie valeur de
que d’une quantité respectivement moindre que
![{\displaystyle {\frac {1}{\alpha '\beta '}},\quad {\frac {1}{\beta '\gamma '}},\quad {\frac {1}{\gamma '\delta '}},\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af67ab974df678705accee7978b829b4abdd71a2)
d’où il sera facile de juger de la quantité de l’approximation.
En général, puisque
on aura
![{\displaystyle {\frac {1}{\alpha '^{2}}}>{\frac {1}{\alpha '\beta '}},\quad {\frac {1}{\beta '^{2}}}>{\frac {1}{\beta '\gamma '}},\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1997e769161e12a1d8fd7934d4967fe628ad5d81)
d’où l’on voit que l’erreur de chaque fraction sera toujours moindre que l’unité divisée par le carré du dénominateur de la même fraction.
3o Que chaque fraction approchera de la valeur de
non-seulement plus que ne fait aucune des fractions précédentes, mais aussi plus que ne pourrait faire aucune autre fraction quelconque qui aurait un moindre dénominateur. En effet, si la fraction
par exemple, approchait plus que la fraction
étant
il faudrait que la quantité
se trouvât entre ces deux
et
donc
![{\displaystyle {\frac {\mu }{\mu '}}-{\frac {\gamma }{\gamma '}}<{\frac {\delta }{\delta '}}-{\frac {\gamma }{\gamma '}}<{\frac {1}{\gamma '\delta '}}\quad {\text{et}}\quad >0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f86d52606fd324b56393fc05c99f5c0d7a4e72ba)
donc
![{\displaystyle \mu \gamma '-\mu '\gamma <{\frac {\mu '}{\delta '}}<1\quad {\text{et}}\quad >0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77551169b27ce09547744c531e9d1834cfdf5e1b)
ce qui ne se peut, puisque
sont des nombres entiers.