23. Maintenant, si l’on réduit les fractions continues
en fractions ordinaires, on aura, en faisant
on aura, dis-je, cette suite de fractions particulières
lesquelles seront nécessairement convergentes vers la vraie valeur de et dont la première sera plus petite que cette valeur, la deuxième sera plus grande, la troisième plus petite, et ainsi de suite ; de sorte que la valeur cherchée se trouvera toujours entre deux fractions consécutives quelconques. C’est ce qu’il est aisé de déduire de la nature même de la fraction continue d’où celles-ci sont tirées.
Or il est facile de voir que les valeurs de
sont toujours telles que
d’où il s’ensuit
1o Que ces fractions sont déjà réduites à leurs moindres termes ; car si et par exemple, avaient un commun diviseur autre que l’unité, il faudrait, en vertu de l’équation
que l’unité fût aussi divisible par ce même diviseur ;