23. Maintenant, si l’on réduit les fractions continues
![{\displaystyle {\frac {p}{1}},\quad p+{\frac {1}{q}},\quad p+{\frac {1}{q+{\cfrac {1}{r}}}},\quad \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16e612d0cfbd048a6575316c1f09524bf263c7ec)
en fractions ordinaires, on aura, en faisant
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\alpha =&p,&\alpha '=&1,\\\beta =&q\alpha +1,\qquad &\beta '=&q\alpha '=q,\\\gamma =&r\beta +\alpha ,&\gamma '=&r\beta '+\alpha ',\\\delta =&s\gamma +\beta ,&\delta '=&s\gamma '+\beta ',\\.\ldots &\ldots \ldots ,&.\ldots &\ldots \ldots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6062f254d25e6bd74bb51e54e70459b9e4be0a37)
on aura, dis-je, cette suite de fractions particulières
![{\displaystyle {\frac {\alpha }{\alpha '}},\quad {\frac {\beta }{\beta '}},\quad {\frac {\gamma }{\gamma '}},\quad {\frac {\delta }{\delta '}},\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/080caf0a1ed0d5ed86223071947fe82ba35b36d1)
lesquelles seront nécessairement convergentes vers la vraie valeur de
et dont la première sera plus petite que cette valeur, la deuxième sera plus grande, la troisième plus petite, et ainsi de suite ; de sorte que la valeur cherchée se trouvera toujours entre deux fractions consécutives quelconques. C’est ce qu’il est aisé de déduire de la nature même de la fraction continue d’où celles-ci sont tirées.
Or il est facile de voir que les valeurs de
![{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots \quad {\text{et}}\quad \alpha ',\beta ',\gamma ',\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9af2da4ca7ec89595d791c58f1270007370ea696)
sont toujours telles que
![{\displaystyle \beta \alpha '-\alpha \beta '=1,\quad \beta \gamma '-\gamma \beta '=1,\quad \delta \gamma '-\gamma \delta '=1,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/513acbd27885d4d863ae138834dbc06624c84d00)
d’où il s’ensuit
1o Que ces fractions sont déjà réduites à leurs moindres termes ; car si
et
par exemple, avaient un commun diviseur autre que l’unité, il faudrait, en vertu de l’équation
![{\displaystyle \beta \gamma '-\gamma \beta '=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d0e74f65eaf9fa0db2c4f7c43396af38c4fbc75)
que l’unité fût aussi divisible par ce même diviseur ;