procédant à l’égard des racines qui composent la fonction
comme on a fait sur celles de
Ces valeurs sont nécessaires pour parvenir à celles de
.
40. Pour cet effet, il faut encore regarder les trois racines qui composent la fonction
comme celles d’une équation du troisième degré, et faire, en conséquence,
![{\displaystyle t_{2}=r+\alpha r^{3}+\alpha ^{2}r^{9},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fcfa53931b0f1808714bc0f843246771b1de605)
en prenant pour
une racine de l’équation ![{\displaystyle y^{3}-1=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be3e4e4c8fe0261111603a1d32da85d4dc091910)
De là, on formera la fonction
![{\displaystyle \theta _{2}=t_{2}^{3}=\xi _{2}^{0}+\alpha \xi '_{2}+\alpha ^{2}\xi ''_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbd2644d62e2e6a06cd0cdc1adb270ef11d63a8c)
et l’on trouvera, par le développement, en faisant
et
ces expressions
![{\displaystyle \xi _{2}^{0}=6+\mathrm {X} '_{1},\quad \xi '_{2}=3(\mathrm {X} '_{1}),\quad \xi ''_{2}=3(\mathrm {X} ''_{1}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8f67170b5a28cf7e7e6f61aaa455279f785fcef)
Donc, nommant
et
les deux racines de l’équation
![{\displaystyle y^{2}+y+1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/768b1b6d57ae9e24a33ff0f846b876a496dcaec1)
et faisant
![{\displaystyle {\begin{aligned}\theta '_{2}\,=&6+\mathrm {X} '_{1}+3\alpha (\mathrm {X} '_{1})+3\alpha ^{2}(\mathrm {X} ''_{1}),\\\theta ''_{2}=&6+\mathrm {X} '_{1}+3\beta \,(\mathrm {X} '_{1})+3\beta ^{2}(\mathrm {X} ''_{1}),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/912ccb9a77f59d302c4423e927740dc128b2f516)
on aura, comme dans le no 23,
![{\displaystyle r={\frac {\mathrm {X} '_{1}+{\sqrt[{3}]{\theta '_{2}}}+{\sqrt[{3}]{\theta ''_{2}}}}{3}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c414cc733935251e3f2aca0022010d3811c8e21)
Ainsi la valeur de
est entièrement déterminée ; nous ne chercherons pas à la simplifier, parce que, dans tous les cas, il est toujours plus avantageux d’employer pour la résolution de l’équation
![{\displaystyle x^{13}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2405795b24ca85ff5a2a8a58d86e3496b8ad6eea)
ainsi que de toutes les équations de ce genre, les formules connues en sinus et cosinus.