On aura ensuite, comme ci-dessus,
![{\displaystyle \theta _{1}=t_{1}^{2}=\xi _{1}^{0}+\alpha \xi '_{1},\quad \xi _{1}^{0}=\mathrm {X_{1}^{'2}+X_{1}^{''2},\quad \xi '_{1}=2X'_{1}X''_{1}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/312b6fc0ac1c3277547ed5a5ee3a3ac57ef2c7f7)
et, à cause que la somme des racines est ici
on aura sur-le-champ
![{\displaystyle \mathrm {X} '_{1}={\frac {\mathrm {X} '+{\sqrt {\theta '_{1}}}}{2}},\quad \mathrm {X} ''_{1}={\frac {\mathrm {X} '-{\sqrt {\theta '_{1}}}}{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/685bd71ba5dc5d714bb5b47647bf5eea96ab91c3)
on aura en même temps
et, faisant
![{\displaystyle \theta '_{1}=\mathrm {X} '^{2}-2\xi '_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505b076d0c524156cf7c04532da11b575fe463b1)
Pour avoir
il faudra développer le produit de
par
en se souvenant toujours que
et l’on trouvera
![{\displaystyle \mathrm {X'_{1}X''_{1}=3+X''} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8850541135b1cb87226974a47e75cc6bbb7cdeb6)
ce qui donnera
![{\displaystyle \xi '_{1}=6+2\mathrm {X} '',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3717cd0246dfb22694c5098855a6c2ce6cef520b)
et par conséquent
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} '_{1}\ =&\mathrm {\frac {X'+{\sqrt {X'^{2}-12-4X''}}}{2}} ,\\\mathrm {X} ''_{1}=&\mathrm {\frac {X'-{\sqrt {X'^{2}-12-4X''}}}{2}} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db9b656e2bd75d2284043dbbe631e8c2c84023e2)
39. Nous remarquerons ici que, comme en mettant
au lieu de
la fonction
devient
et la fonction
devient
si l’on dénote par
ce que deviennent les fonctions
en y substituant
au lieu de
dans toutes les puissances de
ce qui donne
![{\displaystyle (\mathrm {X} '_{1})=r^{2}+r^{6}+r^{5},\quad (\mathrm {X} ''_{1})=r^{8}+r^{11}+r^{7},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82349879838887bd31a2926533c1b40822287fb2)
on aura les valeurs de
en échangeant dans celles de
les quantités
entre elles. On trouvera ainsi
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\mathrm {X} '_{1})\ =&\mathrm {\frac {X''+{\sqrt {X''^{2}-12-4X'}}}{2}} ,\\(\mathrm {X} ''_{1})=&\mathrm {\frac {X''-{\sqrt {X''^{2}-12-4X'}}}{2}} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/473b75da567cc8299d825fcb9dac5c33735a5768)
Ce sont les fonctions correspondantes à
qu’on obtiendrait en