Si l’on fait
on trouve
![{\displaystyle \mathrm {B} =130,\quad \mathrm {C} =-90,\quad \mathrm {D} =-255,\quad \mathrm {E} =20,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc442dd490e96304221b9034430392fa0eb93dce)
et la formule
![{\displaystyle {\sqrt[{5}]{\mathrm {A} +\mathrm {B} r'+\mathrm {C} r''+\mathrm {D} r'''+\mathrm {E} r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e26d9b3e43365b2e6fe61e0597d0bef632e2fd3)
du no 34 coïncidera avec celle de
du no 30, parce que, en faisant
on a
(no 35), et les formules dérivées de celle-là coïncideront aussi avec celles de ![{\displaystyle {\sqrt[{5}]{-\theta ''}},{\sqrt[{5}]{-\theta '''}},{\sqrt[{5}]{-\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a030a72e9660c47329e517b9a78409d40014802a)
37. Prenons pour dernier exemple l’équation
![{\displaystyle x^{13}-1=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b97c76370c75b9fbc78664b4d41cdb258be2b9a0)
Comme
l’opération pourra se décomposer en trois de la manière suivante.
Il faut d’abord avoir une racine primitive pour le nombre
et la Table du no 4 fournit le nombre
dont les puissances successives jusqu’à la onzième, divisées par
donnent les restes
Ainsi, en nommant
une racine de l’équation
![{\displaystyle x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+\ldots +1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f9bc4e691c76cf416135e8f7feb626ec51a041b)
les autres onze racines seront
![{\displaystyle r^{2},\ \ r^{4},\ \ r^{8},\ \ r^{3},\ \ r^{6},\ \ r^{12},\ \ r^{11},\ \ r^{9},\ \ r^{5},\ \ r^{10},\ \ r^{7}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99b81d0f6cb2f5eb07c6bf237a2df91dfeb2c9e3)
On fera donc, en général,
![{\displaystyle t=r+\alpha r^{2}+\alpha ^{2}r^{4}+\alpha ^{3}r^{8}+\alpha ^{4}r^{3}+\alpha ^{5}r^{6}+\alpha ^{6}r^{12}+\alpha ^{7}r^{11}+\alpha ^{8}r^{9}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47ae3d3e2cdb67cb867935a307972ee97f47c925)
![{\displaystyle +\alpha ^{9}r^{5}+\alpha ^{10}r^{10}+\alpha ^{11}r^{7},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9906f65d3254ebf3e9c124bfe1f1f5dab359b07c)
et l’on prendra d’abord pour
une racine de l’équation
![{\displaystyle y^{2}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b8d51923e87c6ffcd0823efdf89f7bdacabc1cd)
en sorte que
ce qui réduira la fonction
à la forme
![{\displaystyle t=\mathrm {X'+\alpha X''} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b37aa7e7ffa59a0d4cf23bfdfcdc2de159e362e9)
dans laquelle
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} '\ =&r\ \,+r^{4}+r^{3}+r^{12}+r^{9}+r^{10},\\\mathrm {X} ''=&r^{2}+r^{8}+r^{6}+r^{11}+r^{5}+r^{7}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/686c199c7daefaf68a97d33badffa5b10118c6bd)