Donc les quatre expressions dont il s’agit deviendront
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\sqrt[{5}]{\mathrm {A} +\mathrm {B} r'\ \ +\mathrm {C} r''\ +\mathrm {D} r'''+\mathrm {E} r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}\\&{\sqrt[{5}]{\mathrm {A} +\mathrm {B} r'''+\mathrm {C} r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\mathrm {D} r''\ +\mathrm {E} r'\ \ }}\\&{\sqrt[{5}]{\mathrm {A} +\mathrm {B} r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\mathrm {C} r'''+\mathrm {D} r'\ \ +\mathrm {E} r''\ }}\\&{\sqrt[{5}]{\mathrm {A} +\mathrm {B} r''\ +\mathrm {C} r'\ \ +\mathrm {D} r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\mathrm {E} r'''}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41dd18c203c9cf3ece1feb67dec899895a2da10f)
35. Dans l’Article XXIII du même Mémoire, on trouve pour les racines de l’équation
![{\displaystyle x^{5}-1=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48cf59943606de64efc911db0709d99de3bffe31)
ces expressions, dans lesquelles j’introduis, pour plus de simplicité, les mêmes lettres
et
Doi, ci-dessus,
![{\displaystyle {\frac {1}{4}}\left({\begin{aligned}-1\left.{\begin{aligned}&+\\&+\\&-\\&-\end{aligned}}\right\}\ \ {\sqrt {5}}\left.{\begin{aligned}&+\\&-\\&+\\&-\end{aligned}}\right\}\ \ q\left.{\begin{aligned}&+\\&-\\&-\\&+\end{aligned}}\right\}\ \ p\end{aligned}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db8b7e875dd066b67d23529e47f0a95824de491e)
En prenant la première de ces racines pour
de sorte que l’on ait
![{\displaystyle r'={\frac {1}{4}}\left(-1+{\sqrt {5}}+p+q\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46e604768145a1c6c2eb9b2ce563f1216527c7a1)
il faudra, d’après les formules du no 31, en prenant
pour
et substituant
pour
supposer
![{\displaystyle {\begin{aligned}r'''=&r'^{2}={\frac {1}{4}}\left(-1-{\sqrt {5}}+p-q\right),\\r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&r'^{3}={\frac {1}{4}}\left(-1-{\sqrt {5}}-p+q\right),\\r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\ =&r'^{4}={\frac {1}{4}}\left(-1+{\sqrt {5}}-p-q\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cd54c9fcfa0be5754040037a2ec157064aefe88)
Substituant ces valeurs dans les expressions ci-dessus, elles se changeront en celles-ci
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\sqrt[{5}]{{\frac {1}{4}}\left(\mathrm {F} +\mathrm {G} {\sqrt {5}}+\mathrm {H} p+\mathrm {K} q\right)}},\\&{\sqrt[{5}]{{\frac {1}{4}}\left(\mathrm {F} -\mathrm {G} {\sqrt {5}}+\mathrm {K} p-\mathrm {H} q\right)}},\\&{\sqrt[{5}]{{\frac {1}{4}}\left(\mathrm {F} -\mathrm {G} {\sqrt {5}}-\mathrm {K} p+\mathrm {H} q\right)}},\\&{\sqrt[{5}]{{\frac {1}{4}}\left(\mathrm {F} +\mathrm {G} {\sqrt {5}}-\mathrm {H} p-\mathrm {K} q\right)}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d586363c9217a04c38e577961f235b4c5b74464)