On voit que les expressions de
et
coïncident avec celles de
et
et que les expressions de
et
ne différent de celles de
et
que par l’échange des quantités
et
entre elles, ce qui ne tient qu’au signe du radical
sous le radical carré. À cette différence près, qui peut venir d’une faute d’impression dans le Mémoire de Vandermonde, ses résultats s’accordent parfaitement avec les nôtres, puisque la racine de son équation en
répond à la racine de notre équation en
prise négativement, et que tout radical cinquième
est la même chose que
On peut donc dire que Vandermonde est le premier qui ait franchi les limites dans lesquelles la résolution des équations à deux termes se trouvait resserrée.
34. Pour ne laisser aucun doute sur la correction à faire à la formule de Vandermonde, nous allons prouver qu’elle résulte des principes mêmes de sa théorie. En effet, si l’on désigne, comme lui, par
les quatre racines qui, avec l’unité, résolvent l’équation
![{\displaystyle x^{5}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18314ec2fe53890663f83fc804a5e7914a24bfb3)
il est facile de voir, par la formule générale de l’Article VII de son Mémoire, que la quantité
ne peut être que de la forme
![{\displaystyle {\sqrt[{5}]{\mathrm {A} +\mathrm {B} r'+\mathrm {C} r''+\mathrm {D} r'''+\mathrm {E} r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e26d9b3e43365b2e6fe61e0597d0bef632e2fd3)
et que, en prenant cette expression pour l’une des quantités
les expressions des trois autres doivent résulter de celle-ci par la substitution de
à la place de
les quantités
étant des fonctions des racines de l’équation à résoudre, indépendantes des racines ![{\displaystyle r',r'',r''',r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36821b2bc3d4ae22af6d905cb19d32924748f729)
Or, par les relations données dans le même Article entre ces dernières racines, on a
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}r'^{2}=&r''',&r''^{2}=&r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},&r'''^{2}=&r'',&r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}2}=&r',\\r'^{3}=&r'r'''=r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\quad &r''^{3}=&r''r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=r''',\quad &r'''^{3}=&r''r'''=r',\quad &r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}3}=&r'\ r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=r'',\\r'^{4}=&r'r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=r'',&r''^{4}=&r''r'''=r',&r'''^{4}=&r'\ r'''=r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},&r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}4}=&r''r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=r''',\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6040e095512334b74265b6d0c9714115787542bc)