32. Pour rapprocher davantage nos expressions de celles de Vandermonde, nous emploierons ces transformations
![{\displaystyle m=p+q,\quad n=p-q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f55353b60aea8cf081cf3ccdf64dd3451e64608)
en supposant
![{\displaystyle p={\sqrt {-5-2{\sqrt {5}}}},\quad q={\sqrt {-5+2{\sqrt {5}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fec2112efbccb1676c9a2d1706ef0b0d7478e1f)
lesquelles se vérifient en faisant les carrés et en observant que
parce que le produit des deux radicaux réels et positifs
est
donc
![{\displaystyle {\sqrt {5}}=p{\sqrt {-1}}.q{\sqrt {-1}}=-pq.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c7c9b03d3c4b70bf230bd9183f168c711c3c1c3)
Par ces substitutions, les quantités
deviendront
![{\displaystyle {\begin{aligned}\theta '\ \ =&{\frac {11}{4}}\left(-89-25{\sqrt {5}}+\ \ 5p-45q\right),\\\theta ''\ =&{\frac {11}{4}}\left(-89+25{\sqrt {5}}-45p-\ \ 5q\right),\\\theta '''=&{\frac {11}{4}}\left(-89+25{\sqrt {5}}+45p+\ \ 5q\right),\\\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&{\frac {11}{4}}\left(-89-25{\sqrt {5}}-\ \ 5p+45q\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa636d31769cf8f2d9e8f767d0ec094ed5e3a12e)
33. Vandermonde a donné, dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de l’année 1771 (p. 416), pour la résolution de l’équation
![{\displaystyle x^{5}-x^{4}-4x^{3}+3x^{2}+3x-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794d33e49d92f3bf2728a66aeef5e466c0fbc8f0)
cette expression de la racine
![{\displaystyle x={\frac {1}{5}}\left(1+\Delta '+\Delta ''+\Delta '''+\Delta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bf34bc729e8ecdc6124afe1860e152a1214b206)
dans laquelle
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta '\ \ =&{\sqrt[{5}]{{\frac {11}{4}}\left(89+25{\sqrt {5}}-\ \ 5q+45p\right)}},\\\Delta ''\ =&{\sqrt[{5}]{{\frac {11}{4}}\left(89+25{\sqrt {5}}+\ \ 5q-45p\right)}},\\\Delta '''=&{\sqrt[{5}]{{\frac {11}{4}}\left(89-25{\sqrt {5}}-\ \ 5q-45p\right)}},\\\Delta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&{\sqrt[{5}]{{\frac {11}{4}}\left(89-25{\sqrt {5}}+\ \ 5q+45p\right)}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef87a4449d337888a1d874d609d768e90b41e6a7)
en conservant les valeurs de
et
supposées ci-dessus.