on a
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\alpha \ \,=&{\frac {-1+{\sqrt {5}}+m}{4}},\qquad &\alpha ^{2}=&{\frac {-1-{\sqrt {5}}+n}{4}},\\\alpha ^{3}=&{\frac {-1-{\sqrt {5}}-n}{4}},&\alpha ^{4}=&{\frac {-1+{\sqrt {5}}-m}{4}},\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92b6f7d40240d71973d357dea0a6fc38f8652fb1)
et, pour s’assurer de la justesse de ces expressions, il n’y a qu’à faire le carré de
qui est
![{\displaystyle 6-2{\sqrt {5}}+m^{2}+2\left({\sqrt {5}}-1\right)m\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1936f7b66646beb08076cb7e5fe5e6dd2d6a3dd)
or, en faisant passer sous le signe radical de
le coefficient
élevé au carré, on trouvera
![{\displaystyle \left({\sqrt {5}}-1\right)m=2n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/250ffbc549dfcf4af7a30a60fe148b4b9411dc4d)
de sorte que, en substituant la valeur de
on a
![{\displaystyle \left(-1+{\sqrt {5}}+m\right)^{2}=4\left(-1-{\sqrt {5}}+n\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba25c549a8d44d00f64da057de7a2efb83986a20)
On peut vérifier de même les autres puissances de ![{\displaystyle \alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794850adc0db51d11a6d8cfa857538183424909c)
Faisant ces substitutions, on trouve
![{\displaystyle {\begin{aligned}\theta '\ \ =&{\frac {1}{4}}\left(-979-275{\sqrt {5}}-220m+275n\right),\\\theta ''\ =&{\frac {1}{4}}\left(-979+275{\sqrt {5}}-275m-220n\right),\\\theta '''=&{\frac {1}{4}}\left(-979+275{\sqrt {5}}+275m+220n\right),\\\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&{\frac {1}{4}}\left(-979-275{\sqrt {5}}+220m-275n\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8697f4d240f35921792b6d3833468dd7fa33a095)
où l’on remarquera que les coefficients
sont tous divisibles par
et donnent pour quotients
de sorte que les quantités
peuvent être exprimées plus simplement ainsi :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\theta '\ \ =&{\frac {11}{4}}\left(-89-25{\sqrt {5}}-20m+25n\right),\\\theta ''\ =&{\frac {11}{4}}\left(-89+25{\sqrt {5}}-25m-20n\right),\\\theta '''=&{\frac {11}{4}}\left(-89+25{\sqrt {5}}+25m+20n\right),\\\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&{\frac {11}{4}}\left(-89-25{\sqrt {5}}+20m-25n\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fe81b225fb752dcfc4848fc6688e71fd89bf3fa)