que nous avons employée, ce qui est permis, puisque,
et
étant les facteurs de
on peut partir de l’un ou de l’autre à volonté.
30. Faisant donc
l’expression générale de
(no 24) deviendra
![{\displaystyle t=\mathrm {X'+\alpha X''+\alpha ^{2}X'''+\alpha ^{3}X^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\alpha ^{4}X^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/127520d0fb7aa86d55b9baac4bef94c281f34e05)
dans laquelle
![{\displaystyle \mathrm {X} '=r+r^{10},\ \ \mathrm {X} ''=r^{2}+r^{9},\ \ \mathrm {X} '''=r^{4}+r^{7},\ \ \mathrm {X} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=r^{8}+r^{3},\ \ \mathrm {X} ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=r^{5}+r^{6},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a95a65df6678b8b79f2b9d22fb0773e28d72d25)
et l’on regardera maintenant les quantités
comme les racines d’une équation du cinquième degré ; c’est le cas que nous avons considéré en général dans le no 12.
On fera donc
![{\displaystyle \theta =t^{5}=\xi ^{0}+\alpha \xi '+\alpha ^{2}\xi ''+\alpha ^{3}\xi '''+\alpha ^{4}\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/020bd08d572429a7caf1133d5e29983373a910a1)
et l’on cherchera les valeurs de
en fonction de
par le développement de la puissance cinquième de
en y rabaissant continuellement les puissances de
au-dessous de
et celles de
au-dessous de
à cause de
et
Le calcul n’a d’autre difficulté que la longueur. Voici les résultats que j’ai trouvés et dont je crois pouvoir répondre.
En faisant, pour abréger,
![{\displaystyle s=r+r^{2}+r^{4}+r^{8}+r^{5}+r^{10}+r^{9}+r^{7}+r^{3}+r^{6},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1536d49ff735ea4fe44c787fe763bc2c65d94c07)
on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi ^{0}\ \,=&1640+1836s,\\\xi '\ \ =&1700+1830s,\\\xi ''\ =&2050+1795s,\\\xi '''=&1800+1820s,\\\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&1900+1810s.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10a3a29cf50c7e6a251faae2aca4b40134a0b4bc)
Or
est la somme des racines, qui, par la nature de l’équation du dixième degré en
dont le second terme est
doit être égale à
Faisant donc
on aura
![{\displaystyle \xi ^{0}=-196,\quad \xi '=-130,\quad \xi ''=255,\quad \xi '''=-20,\quad \xi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=90.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19d4a0bf28d37f64744c9a7400fbdc11fe86e6f6)