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par le procédé du n^o 21, sera ici $1,2,4,8,5,10,9,7,3,6,$ de sorte que la série des racines sera

$r,\ \ r^{2},\ \ r^{4},\ \ r^{8},\ \ r^{5},\ \ r^{10},\ \ r^{9},\ \ r^{7},\ \ r^{3},\ \ r^{6},$

dont la somme sera par conséquent $=-1,$ et l’on aura pour $t$ cette expression générale

$t=r+\alpha r^{2}+\alpha ^{2}r^{4}+\alpha ^{3}r^{8}+\alpha ^{4}r^{5}+\alpha ^{5}r^{10}+\alpha ^{6}r^{9}+\alpha ^{7}r^{7}+\alpha ^{8}r^{3}+\alpha ^{9}r^{6},$

laquelle, en prenant pour $\alpha$ une racine de l’équation

$y^{10}-1=0,$

donnera, à cause de $\alpha ^{10}=1,$

$\theta =t^{10}=\xi ^{0}+\alpha \xi '+\alpha ^{2}\xi ''+\alpha ^{3}\xi '''+\ldots +\alpha ^{9}\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{IX}}},$

d’où l’on tirera la valeur de $r$ par la formule générale du n^o 8, en y faisant $\mu =11.$

Mais, pour se dispenser d’élever le polynôme $t$ à la dixième puissance, on pourra décomposer l’opération en deux autres correspondantes aux deux facteurs $2$ et $5$ du nombre $11-1=10,$ par la méthode du n^o 11.

Prenons d’abord pour une racine de l’équation

$y^{2}-1=0,$

de sorte que l’on ait $\alpha ^{2}=1.$ Par là, l’expression de $t$ se réduira à cette forme plus simple

$t=\mathrm {X'+\alpha X''} ,$

en faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {X} '\ =&r\ \ +r^{4}+r^{5}+r^{9}+r^{3},\\\mathrm {X} ''=&r^{2}+r^{8}+r^{10}+r^{7}+r^{6},\end{aligned}}$

et la valeur de $\theta$ sera

$\theta =t^{2}=\mathrm {X'^{2}+X''^{2}+2\alpha X'X''} .$

En développant les carrés des fonctions $\mathrm {X} '$ et $\mathrm {X} '',$ et rabaissant toutes