22. Maintenant on fera
![{\displaystyle t=r+\alpha r^{3}+\alpha ^{2}r^{2}+\alpha ^{3}r^{6}+\alpha ^{4}r^{4}+\alpha ^{5}r^{5},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef90ee0e6c6e5a59f21371f1dcbbd5e80e9ca1bf)
en prenant d’abord pour
une racine de l’équation
![{\displaystyle y^{6}-1=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a7a0aeed785f7305aea29e572d780234d4a1a2f)
ensuite on formera la fonction
mais, comme l’exposant
on pourra simplifier le calcul et les résultats par la méthode du no 11, en ne prenant d’abord pour
qu’une racine de l’équation
![{\displaystyle y^{2}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b8d51923e87c6ffcd0823efdf89f7bdacabc1cd)
ce qui, à cause de
réduira l’expression de
à celle-ci
![{\displaystyle t=\mathrm {X'+\alpha X''} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b37aa7e7ffa59a0d4cf23bfdfcdc2de159e362e9)
dans laquelle
![{\displaystyle \mathrm {X} '=r+r^{2}+r^{4},\quad \mathrm {X} ''=r^{3}+r^{6}+r^{5}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc7a9f578d7e52573c3cffabbfbd6e611e6c6c98)
On aura ensuite
![{\displaystyle \theta =t^{2}=\xi ^{0}+\alpha \xi ',\quad {\text{où}}\quad \xi ^{0}=\mathrm {X'^{2}+X''^{2},\quad \xi '=2X'X''} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41715d15f061dc033e137850e3a4096e3c99d85c)
et l’on trouvera après le développement, à cause de ![{\displaystyle r^{7}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c82777bfc85042af4641c80e7283938ceb28d558)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi ^{0}=&3\left(r+r^{3}+r^{2}+r^{6}+r^{4}+r^{5}\right),\\\xi '=&2\left(3+r\ \ +r^{3}+r^{2}+r^{6}+r^{4}+r^{5}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5379e33166455b94eef90557e49467091cbf9d0f)
Or
somme des racines, est
donc
et la valeur de
se réduira à
De là, en faisant
on aura
et l’on trouvera sur-le-champ les deux racines
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} \ '=&{\frac {-1+{\sqrt {-7}}}{2}}\\\mathrm {X} ''=&{\frac {-1-{\sqrt {-7}}}{2}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0c17b6764102b4fa526af043f618d0c2fb43165)
23. Considérons maintenant les trois termes de l’expression de
comme les racines d’une équation du troisième degré ; prenant
pour racine de l’équation
![{\displaystyle y^{3}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c88536421c526d00b89269b6a6f5e7486ff2f64f)