d’où l’on aura, par les substitutions des valeurs de
et
![{\displaystyle {\begin{aligned}r^{4}=&{\frac {-1+{\sqrt {5}}-{\sqrt {-10-2{\sqrt {5}}}}}{4}},\\r^{2}=&{\frac {-1-{\sqrt {5}}+{\sqrt {-10+2{\sqrt {5}}}}}{4}},\\r^{3}=&{\frac {-1-{\sqrt {5}}-{\sqrt {-10+2{\sqrt {5}}}}}{4}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff5b348825267e65bf2f863604f6a7c8ec30f696)
Comme
est un nombre premier, ces valeurs de
seront les quatre racines qui, avec l’unité, résolvent l’équation (no 3)
![{\displaystyle x^{5}-1=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79e5823912d86acc8e2a4d5e5b80d9a0c58f7b96)
19. Les expressions de ces racines coïncident avec celles qu’on trouve en résolvant l’équation
![{\displaystyle x^{5}-1=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48cf59943606de64efc911db0709d99de3bffe31)
par les méthodes connues. Car on a d’abord, en divisant par ![{\displaystyle x-1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96c5bcb680651f0fe04af262674ae3fc37a2cc99)
![{\displaystyle x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8905c1e5afe5e1bb53bc416054e3262ce869d9ea)
équation qui, étant mise sous la forme
![{\displaystyle x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}+x+{\frac {1}{x}}+1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69eb8e03350026b9e067170d5e2b218957ef643f)
devient
![{\displaystyle u^{2}+u-1=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2db64c7fe88614617c02dea9b27522eae2381c1c)
par la substitution de
On a ainsi l’équation
![{\displaystyle x^{2}-xu+1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaf44cfa47d28a3c90e0e2f50d4b78ed674b2015)
laquelle donne
![{\displaystyle x={\frac {u\pm {\sqrt {u^{2}-4}}}{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e15dc89b012a30c544efcdebf6b514159cab7068)
ensuite l’équation en
donne
de sorte que, en substi-