L’avantage de ces décompositions consiste dans l’abaissement des puissances auxquelles il faut élever les polynômes
pour avoir les fonctions
ce qui diminue la longueur du calcul, et ensuite dans l’abaissement des radicaux qui entrent dans l’expression de la racine
ce qui simplifie cette expression.
Telle est la marche générale et uniforme du calcul ; nous allons l’appliquer à quelques exemples pour la faire mieux concevoir, et nous reprendrons d’abord celui de l’équation
![{\displaystyle x^{5}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18314ec2fe53890663f83fc804a5e7914a24bfb3)
que nous avons résolue ci-dessus (no 10).
18. On a ici
ainsi on fera
(no 11). On prendra pour
une des racines de l’équation
![{\displaystyle y^{2}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b8d51923e87c6ffcd0823efdf89f7bdacabc1cd)
de sorte que, à cause de
l’expression de la fonction
du no 10 devient
![{\displaystyle t=\mathrm {X'+\alpha X''} ,\quad {\text{où}}\quad \mathrm {X} '=r+r^{4},\quad \mathrm {X} ''=r^{2}+r^{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/827289192368dd40ded415c0b5cbaed026d4218f)
De là on trouve, en faisant le carré de
à cause de ![{\displaystyle \alpha ^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/873f3af0479fe358a9a36bf430a8bc5206a06fde)
![{\displaystyle \theta =t^{2}=\xi ^{0}+\alpha \xi ',\quad \xi ^{0}=\mathrm {X'^{2}+X''^{2},\quad \xi '=2X'X''} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4df9f13479e6a3ebd60f0dc16ed101f9a838b3d2)
Substituant les valeurs de
en
et développant les carrés et les produits, en rabaissant les puissances de
au-dessous de
à cause de
on trouve
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi ^{0}=&4+r+r^{2}+r^{3}+r^{4},\\\xi '=&2\left(r+r^{2}+r^{3}+r^{4}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b96ac91a972711301239565a8f328735ebd0ac05)
Donc, comme
somme des racines, est
par l’équation, on a
et
Ainsi l’expression générale de
deviendra ![{\displaystyle \theta =3-2\alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fea35c3a7694625257df4030bac27ac5e5405585)
De là, à cause que les valeurs de
sont
et
en faisant
on aura
et, comme
![{\displaystyle s=x'+x''+x'''+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=-1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e86d5c11f70e4678d88045df6ccbb37838ffc58f)