composent la fonction
en changeant simplement, dans l’expression générale de
,
en
en
etc.,
en
en
et ainsi de suite.
16. Si le nombre
n’est pas premier, on pourra, en le décomposant en ses facteurs, décomposer encore l’opération précédente en d’autres plus simples.
Ainsi, si
on pourra ne prendre pour
qu’une racine de l’équation
![{\displaystyle y^{\nu '}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de4e46a76efd6127cbd28e3b4023be09a1128db4)
en sorte que
et la fonction
(no 11) deviendra
![{\displaystyle t_{1}=\mathrm {X_{1}'+\alpha X_{1}''+\alpha ^{2}X_{1}'''+\ldots +\alpha ^{\nu '-1}X_{1}^{(\nu ')}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f72c76837f0618dcc282689a135b4694585ee619)
en supposant
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} '_{1}\ =&r\qquad \ \ +r^{a^{\nu '\nu }}\quad \ \ +r^{a^{2\nu '\nu }}\quad +\ldots +r^{a^{(\varpi -\nu ')\nu }},\\\mathrm {X} ''_{1}\ =&r^{a^{\nu '}}\quad \ \ +r^{a^{(\nu '+1)\nu }}\,+r^{a^{(2\nu '+1)\nu }}+\ldots +r^{a^{(\varpi -\nu '+1)\nu }},\\\mathrm {X} '''_{1}=&r^{a^{2\nu '}}\quad \ +r^{a^{(\nu '+2)\nu }}\,+r^{a^{(2\nu '+2)\nu }}+\ldots +r^{a^{(\varpi -\nu '+2)\nu }},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\mathrm {X} _{1}^{(\nu ')}=&r^{a^{(\nu '-1)\nu }}+r^{a^{(2\nu '-1)\nu }}+r^{a^{(3\nu '-1)\nu }}+\ldots +r^{a^{(\varpi -1)\nu }}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccd0693bde628afb33a0676f3b6b9e94222a8078)
On fera ensuite
et l’expression de
étant développée sous la forme
![{\displaystyle \theta _{1}=\xi _{1}^{0}+\alpha \xi _{1}'+\alpha ^{2}\xi _{1}''+\ldots +\alpha ^{\nu '-1}\xi _{1}^{(\nu ')},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a298d7d2032464dec1f98757a60b40d98888dc7)
à cause de
les quantités
seront des fonctions de
qui ne changeront pas par le changement simultané de
en
de
en
en
etc.,
en
(Note précédente, no 25). Or on voit, par les expressions précédentes de
que ces changements ont lieu en changeant simplement
en
Donc les quantités
regardées comme des fonctions de
devront être invariables par le changement de
en
par conséquent, elles seront nécessairement de la forme
![{\displaystyle \mathrm {A+BX'+CX''+DX'''} +\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/053d05d24000ae83667b079da8062bcacad10af0)
par ce qu’on a démontré ci-dessus (no 13).