l’expression de
du no 9, laquelle devient ici
![{\displaystyle \theta =s^{\nu }+(\alpha -1)\xi '+\left(\alpha ^{2}-1\right)\xi ''+\left(\alpha ^{3}-1\right)\xi '''+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/087339015d6fa0cb74a8f1c08f5bbcb74e58e8d8)
12. Le cas de
mérite une attention particulière, parce qu’il donne la division de la circonférence en
parties.
Soit donc
et par conséquent
on aura
Or, puisque
est divisible par
et que
est supposé une racine primitive,
ne sera pas divisible par
mais
![{\displaystyle a^{\mu -1}-1=\left(a^{\frac {\mu -1}{2}}-1\right)\left(a^{\frac {\mu -1}{2}}+1\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb6fc48bab14eeffb8d09860541caefb461e0ccc)
donc,
étant un nombre premier,
sera divisible par
par conséquent,
sera le reste de la division de
par
donc
sera égal à ![{\displaystyle {\frac {1}{r}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0225ef18d123b92200cc6010a828471aa323c17d)
Ainsi on aura
![{\displaystyle \mathrm {X} '=r+{\frac {1}{r}},\quad \mathrm {X} ''=r^{a}+{\frac {1}{r^{a}}},\quad \mathrm {X} '''=r^{a^{2}}+{\frac {1}{r^{a^{2}}}},\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/082d20c7820e0d494cdc9d74812d97954bfd6727)
Or on a, par les formules connues du théorème de Cotes (no 1},
![{\displaystyle r=\cos {\frac {360^{\circ }}{\mu }}+\sin {\frac {360^{\circ }}{\mu }}{\sqrt {-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d798e42f840c76b7f370705c06393d8d8e3726d9)
et, en général,
![{\displaystyle r^{m}=\cos {\frac {m}{\mu }}360^{\circ }+\sin {\frac {m}{\mu }}360^{\circ }{\sqrt {-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13047e33e52cb5ef629bfc4f439f9dd2c144a77b)
Donc
![{\displaystyle \mathrm {X} '=2\cos {\frac {360^{\circ }}{\mu }},\quad \mathrm {X} ''=2\cos {\frac {a}{\mu }}360^{\circ },\quad \mathrm {X} '''=2\cos {\frac {a^{2}}{\mu }}360^{\circ },\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bf585dc1c3998737a6ac9ad0ce2db61a1c19e02)
Ainsi les valeurs de
sont toutes réelles dans ce cas et donnent immédiatement les cosinus des divisions de la circonférence en
parties.