faudra substituer successivement pour
pour avoir les valeurs de
On aura ainsi
![{\displaystyle \theta '=25,\quad \theta ''=-15+20{\sqrt {-1}},\quad \theta '''=-15-20{\sqrt {-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ba6e4981d0bf6dec5f11c7977ebe4d1bd3a606d)
Donc, substituant ces valeurs dans l’expression de
du no 8 et mettant
au lieu de
(no 9), on aura sur-le-champ
![{\displaystyle r={\frac {1}{4}}\left(-1+{\sqrt {5}}+{\sqrt[{4}]{-15+20{\sqrt {-1}}}}+{\sqrt[{4}]{-15-20{\sqrt {-1}}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38e964f265503c9f23d54d24bf57deee409dd5a5)
11. Mais on peut avoir une expression plus simple de la même racine
en faisant usage de la méthode du no 25 de la Note précédente, laquelle est toujours applicable aux équations du genre que nous traitons, parce que l’exposant
est nécessairement un nombre composé.
Supposant donc en général
![{\displaystyle \mu -1=\nu \varpi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f26dbafd94bc732ffdc2b14c4e52768fecfc6c2)
et prenant pour
une racine de l’équation
![{\displaystyle y^{\nu }-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e280faa38c7d0453c94523872b3379b464853aac)
la fonction
du no 6 deviendra de la forme
![{\displaystyle t=\mathrm {X'+\alpha X''+\alpha ^{2}X'''+\ldots +\alpha ^{\nu -1}X^{\nu }} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33be4e6a3f2db90201359277bdbfe449f89dbf08)
dans laquelle
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} '\ \ =&r\ \ \ \,+r^{a^{\nu }}\ \ \ +r^{a^{2\nu }}\ \ \ +r^{a^{3\nu }}\ \ \ +\ldots +r^{a^{(\varpi -1)\nu }},\\\mathrm {X} ''\ =&r^{a}\ \,+r^{a^{\nu +1}}+r^{a^{2\nu +1}}+r^{a^{3\nu +1}}+\ldots +r^{a^{(\varpi -1)\nu +1}},\\\mathrm {X} '''=&r^{a^{2}}+r^{a^{\nu +2}}+r^{a^{2\nu +2}}+r^{a^{3\nu +2}}+\ldots +r^{a^{(\varpi -1)\nu +2}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\mathrm {X} ^{(\nu )}=&r^{a^{\nu }}+r^{a^{2\nu -1}}+r^{a^{3\nu -1}}+r^{a^{4\nu -1}}+\ldots +r^{a^{\varpi \nu -1}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2473641982ff47341bfc5507908a8ce5a8c2dcf4)
On formera ensuite la fonction
laquelle, à cause de
sera de la forme
![{\displaystyle \xi ^{0}+\alpha \xi '+\alpha ^{2}\xi ''+\alpha ^{3}\xi '''+\ldots +\alpha ^{\nu -1}\xi ^{(\nu -1)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecc7f97d0c859b8c890b7776d83b3b33cd04a4a3)