que les racines dont il s’agit peuvent être représentées par les puissances
lesquelles se rabaissent, à cause de
à celles-ci
en prenant, au lieu de l’exposant
le reste de la division par
On fera donc
![{\displaystyle t=r+\alpha r^{2}+\alpha ^{2}r^{4}+\alpha ^{3}r^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2ce200273b4b80672c13ab16e15bd68c19ad6df)
en prenant pour
une racine de l’équation
![{\displaystyle y^{4}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70a9771bf076b22edf976d7462935b4d54ec2910)
de manière que l’on ait ![{\displaystyle \alpha ^{4}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d21961133272c56c081a78c92d60aa0adee59c0f)
Maintenant, pour trouver la fonction
il n’y a qu’à élever à la quatrième puissance le polynôme
ét le développer suivant les puissances de
en rabaissant celles-ci au-dessous de
et celles de
au-dessous de
par les conditions
et
On trouve, par un calcul qui n’a aucune difficulté,
![{\displaystyle \theta =\xi ^{0}+\alpha \xi '+\alpha ^{2}\xi ''+\alpha ^{3}\xi ''',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1001ea4221e0c062b7c2f2e89eabb099bff5016d)
où les quantités
ont les valeurs suivantes, dans lesquelles je mets
pour la somme des racines ![{\displaystyle r,r^{2},r^{4},r^{3}\,:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9542abf18f0374eb801244ebfda4246bf49ab3bf)
![{\displaystyle \xi ^{0}=12+13s,\quad \xi '=16+12s,\quad \xi ''=24+10s,\quad \xi '''=16s.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7970a458851918da235ef244df8b4e19c95e5b1c)
Ainsi, comme
par la nature de l’équation en
on aura
![{\displaystyle \xi ^{0}=-1,\quad \xi '=4,\quad \xi ''=14,\quad \xi '''=-16,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a55b14f8ce7f32a5065e933959b05a9711891b1)
et la fonction
deviendra
![{\displaystyle \theta =-1+4\alpha +14\alpha ^{2}-16\alpha ^{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e84a23e384c3f423f3edf04775613c9a522c759)
Or l’équation
![{\displaystyle y^{4}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70a9771bf076b22edf976d7462935b4d54ec2910)
se décomposant en ces deux-ci
![{\displaystyle y^{2}-1=0\quad {\text{et}}\quad y^{2}+1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71465fc3c0dd8b4cdcc0536f082aeccef0d7002b)
donne tout de suite les quatre racines
qu’il