9. On pourra aussi, si l’on veut, se dispenser de calculer ces quantités
et
car, par ce que nous avons dans l’article 17 de la Note précédente, le terme
au (en faisant ici
) est toujours égal à la somme des racines que nous dénotons en général par
et l’expression de
peut se mettre sous la forme
![{\displaystyle \theta =s^{\mu -1}+(\alpha -1)\xi '+\left(\alpha ^{2}-1\right)\xi ''+\left(\alpha ^{3}-1\right)\xi '''+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94e51eba44fafa03adcd963d899e5ed63363876b)
qui ne renferme pas
et il n’y a plus qu’à substituer
au lieu de
pour avoir les valeurs de ![{\displaystyle \theta ',\theta '',\theta ''',\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7494c756f6b694f79128aaa5991c123abadf6b84)
De cette manière, la résolution de l’équation
![{\displaystyle x^{\mu }-1=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3303dabd09768d75e0c122c63b611e811d59d3aa)
ne dépendra que de la résolution de l’équation
![{\displaystyle y^{\mu -1}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aba651da2aa91b16caf0dcfbf23e26cecd46b88d)
dont
sont les racines. Or celle-ci est d’un degré moindre que la proposée mais de plus, comme
est nécessairement un nombre composé, on aura les racines
par celles d’autant d’équations
qu’il y aura de facteurs premiers
dans le nombre
comme on l’a vu dans la Note précédente (no 12).
10. Soit, par exemple, l’équation
![{\displaystyle x^{5}-1=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48cf59943606de64efc911db0709d99de3bffe31)
dont on demande les racines. Cette équation étant résoluble par les méthodes connues, on pourra comparer cette solution avec celle qui résulte de la méthode précédente.
En ôtant par la division la racine
on a l’équation du quatrième degré
![{\displaystyle x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8905c1e5afe5e1bb53bc416054e3262ce869d9ea)
dont les racines seront ![{\displaystyle r,r^{2},r^{3},r^{4}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ff128ad75d34fefc55a2a82c5453f5db13bd9ea)
Puisqu’on a ici
on trouve par la Table donnée ci-dessus (no 4) que la plus petite racine primitive est
de sorte qu’on a
et