8. Donc, si l’on dénote par
la somme des racines
on aura également
![{\displaystyle s=r+r^{a}+r^{a^{2}}+r^{a^{3}}+\ldots +r^{a^{\mu -2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/248bf43b52be7e690f310d7c33544b7d05547f98)
et les quantités
de la fonction
seront toutes de la forme ![{\displaystyle \mathrm {A+B} s.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8698b59a2634f37aeca1721e08b41542c951215)
Les coefficients
et
se détermineront par le développement actuel de la fonction
et la quantité
est connue par la nature de l’équation à résoudre (no 6)
![{\displaystyle x^{\mu -1}+x^{\mu -2}+\ldots +1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c55845669fa8a465bd332e4e4b458fc9b3a35c2)
laquelle donne sur-le-champ
Ainsi, on a le cas, où les valeurs des quantités
sont connues immédiatement, sans dépendre d’aucune équation, de sorte qu’en désignant par
les
racines de l’équation
![{\displaystyle y^{\mu -1}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aba651da2aa91b16caf0dcfbf23e26cecd46b88d)
et par
les valeurs de
qui répondent aux substitutions de ces racines à la place de
on aura sur-le-champ, par les formules de la Note précédente (no 16), en substituant
pour
et
pour ![{\displaystyle m,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dad66d19bb37bc69223cb004be2ea5dd95f9564c)
![{\displaystyle r={\frac {{\sqrt[{\mu -1}]{\theta ^{0}}}+{\sqrt[{\mu -1}]{\theta '}}+{\sqrt[{\mu -1}]{\theta ''}}+\ldots +{\sqrt[{\mu -1}]{\theta ^{(\mu -1)}}}}{\mu -1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90f4163423563a3796ef6c00dfe7fcbdacf76006)
Telle est l’expression d’une des racines de l’équation
![{\displaystyle x^{\mu }-1=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e649edc508eafe9e06154a696515e3e5e3933c2)
on aura toutes les autres par les puissances
mais on peut aussi les avoir directement par les mêmes formules, en prenant
pour
pour
etc.
On aura, de cette manière,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&r^{a}\ ={\frac {{\sqrt[{\mu -1}]{\theta ^{0}}}+\alpha ^{\mu -2}.{\sqrt[{\mu -1}]{\theta '}}+\beta ^{\mu -2}.{\sqrt[{\mu -1}]{\theta ''}}+\ldots }{\mu -1}},\\&r^{a^{2}}={\frac {{\sqrt[{\mu -1}]{\theta ^{0}}}+\alpha ^{\mu -3}.{\sqrt[{\mu -1}]{\theta '}}+\beta ^{\mu -3}.{\sqrt[{\mu -1}]{\theta ''}}+\ldots }{\mu -1}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c40bd5156ae009a3721d036978bcef2dc05dc5c)