En effet il est visible que, par la substitution de
à la place de
devient
devient
etc., et le dernier terme devient
à cause que le reste de
après la division par
est l’unité.
De même, par la substitution de
au lieu de
devient
devient
etc. l’avant-dernier terme
deviendra
le dernier deviendra
à cause que le reste de la division de
par
est
puisque
et que le reste de la division de
est
6. Cela posé, si pour résoudre l’équation du degré
(no 5)
![{\displaystyle x^{\mu -1}+x^{\mu -2}+x^{\mu -3}+\ldots +1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9030f48cdff59601168a36f08d34f0552db78647)
dont les racines sont (no 5)
![{\displaystyle r,\ \ r^{a},\ \ r^{a^{2}},\ \ r^{a^{3}},\ \ \ldots ,\ \ r^{a^{\mu -2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6911eb742c96597c898428e97d9669be96655f66)
étant
en vertu de l’équation
on emploie la méthode de la Note précédente, et qu’en prenant ces racines pour
on fasse (no 14, Note précédente)
![{\displaystyle t=r+\alpha r^{a}+\alpha ^{2}r^{a^{2}}+\alpha ^{3}r^{a^{3}}+\ldots +\alpha ^{\mu -2}r^{a^{\mu -2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da8cadbbc51b03faf2004cca1394af660fa74017)
où
est une des racines de l’équation
qu’ensuite on développe la puissance
ième de
en faisant attention de rabaisser les puissances de
et de
au-dessous de
et de
par les conditions
et
de manière qu’on ait cette fonction ordonnée suivant les puissances de ![{\displaystyle \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3)
![{\displaystyle \theta =t^{\mu -1}=\xi ^{0}+\alpha \xi '+\alpha ^{2}\xi ''+\alpha ^{3}\xi '''+\ldots +\alpha ^{\mu -2}\xi ^{(\mu -2)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bddcfe4b7bdc0b6d790d79472bc7df6c455873d)
les quantités
seront des fonctions rationnelles et entières de
telles qu’elles ne changeront pas par la substitution de
à la place de
puisque nous avons vu (no 16, Note précédente) que ces quantités, regardées comme des fonctions de
sont invariables par les permutations simultanées de
en
en