où l’on remarque que le nombre de ces racines primitives, pour un nombre premier
donné, est toujours égal à celui des nombres moindres que
et premiers à
On peut voir sur ce sujet la Section III des Disquisitiones arithmeticæ.
Au reste, pour notre objet, il suffira de connaître une seule des racines primitives pour un nombre premier donné, et il sera toujours plus avantageux pour le calcul d’en connaître la plus petite.
5. Soit donc
une racine primitive pour le nombre premier
de manière que les
termes de la progression géométrique
étant divisés par
donnent pour restes tous les nombres moindres que
dont l’unité sera le dernier ; il est facile de voir que les
racines
(no 3) pourront aussi, en faisant abstraction de l’ordre, être représentées par la série
![{\displaystyle r,r^{a},r^{a^{2}},r^{a^{3}},\ldots ,r^{a^{\mu -2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cbdc50d5a2346bc6d2aff32d3336137640b9e93)
car, comme on a par l’équation
dont
est supposé racine,
il est visible qu’à la place de chaque puissance de
comme
lorsque
on pourra toujours prendre la puissance
où
sera le reste de la division de
par
Ainsi, dans la série précédente, on pourra toujours réduire les exposants de
à leurs restes après la division par
restes que nous avons vus comprendre tous les nombres
jusqu’à
mais dans un ordre différent de l’ordre naturel, ce qui est ici indifférent pour les racines ![{\displaystyle r,r^{2},r^{3},\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebf419933143766e3905658e7b5917e5f4678e94)
L’avantage de cette nouvelle forme des racines consiste en ce que, si dans la série des racines
![{\displaystyle r,r^{a},r^{a^{2}},r^{a^{3}},r^{a^{4}},\ldots ,r^{a^{\mu -2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb7457f3e3e22ba7f2b6ef2740a081ddd57ec1e3)
on met
à la place de
elle devient
![{\displaystyle r^{a},r^{a^{2}},r^{a^{3}},r^{a^{4}},r^{a^{5}},\ldots ,r,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d0dde72a10987f7ee6061cbbe6aa619e10bbf73)
et, si l’on y met
à la place de
elle devient
![{\displaystyle r^{a^{2}},r^{a^{3}},r^{a^{4}},r^{a^{5}},r^{a^{6}},\ldots ,r,r^{a},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4262bcd6f7351491fb076e71955deb20f7ea37ba)
et ainsi de suite.