puissances seront nécessairement des diviseurs de
de sorte que, pour savoir si parmi les puissances de
moindres que
il y en a aussi qui étant divisées par
donnent le reste
il suffira d’essayer celles dont l’exposant sera un diviseur de
4. On nomme racines primitives les nombres
dont aucune puissance moindre que
ne donne le reste
par la division par
et ces racines ont la propriété que tous les termes de la progression
étant divisés par
donnent des restes différents et donnent par conséquent tous les nombres moindres que
pour restes, puisque ces restes sont au nombre de
Car, si deux puissances
donnaient le même reste,
et
étant
et
leur différence
serait nécessairement divisible par
mais,
n’étant pas divisible et
étant premier, il faudrait que
le fût ; donc il y aurait une puissance
moindre que
qui donnerait l’unité pour reste ; par conséquent,
ne serait pas racine primitive, contre l’hypothèse.
On n’a pas, jusqu’à présent, de méthode directe pour trouver les racines primitives pour chaque nombre premier ; mais on peut toujours les trouver facilement par le tâtonnement. Euler en a donné, dans les Commentaires de Pétersbourg (T. XVIII), une Table pour tous les nombres premiers jusqu’à
que nous placerons ici :
![{\displaystyle {\begin{array}{r|rrrrrrrrrrrr}\mu &&&&&&a\\3&2,\\5&2,&8,\\7&3,&5,\\11&2,&6,&7,&8,\\13&2,&6,&7,&11,\\17&3,&5,&6,&7,&10,&11,&12,&14,\\19&2,&3,&10,&13,&14,&15,\\23&5,&9,&10,&11,&13,&14,&15,&17,&20,&21,\\29&2,&3,&8,&10,&11,&14,&15,&18,&19,&21,&26,&27,\\31&3,&11,&12,&18,&19,&21,&22,&24,\\37&2,&5,&13,&15,&17,&18,&19,&20,&22,&24,&32,&35,\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcf59cb6a0ad1fd0c2bd0bd332a2dd887a4da32d)