où
sont les trois racines de l’équation, et
les valeurs qui satisfont avec l’unité à l’équation
![{\displaystyle r^{3}-1=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/567ec1678182283509f0decb23f2e801c2c0a92c)
En effet, cette expression devient d’abord égale à
à cause de
ensuite, comme chaque radical cube peut être multiplié par
ou
la même expression deviendra
ou
en multipliant les deux radicaux par
et
ou par
et
à cause de
(no 5). De là Vandermonde conclut que, pour un nombre quelconque
de racines, la fonction qui deviendra indifféremment
ou
ou
etc. sera de la forme
![{\displaystyle {\frac {1}{m}}\left[(a+b+c+\ldots )+{\sqrt[{m}]{(a+r'b+r''c+\ldots )^{m}}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e820e0538f85d24da1d97bc2cb9d0ced7024de06)
![{\displaystyle +\left.{\sqrt[{m}]{\left(a+r'^{2}b+r''^{2}c+\ldots \right)^{m}}}+{\sqrt[{m}]{\left(a+r'^{3}b+r''^{3}c+\ldots \right)^{m}}}+\ldots \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b12f152c2889ed82992d1027ca69da6702c7b04d)
étant avec l’unité les racines de l’équation
![{\displaystyle r^{m}-1=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0de12424b4c92475812d014c59b5972278e95996)
Si l’on compare cette expression à celle de la racine
du no 16, on verra facilement leur accord, en considérant que
est en général
(no 15), et que
sont les valeurs de
qui répondent aux racines
de l’équation
![{\displaystyle y^{m}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35806756751614729ca42e9d38ff09f31533c7a7)
lesquelles sont désignées par
dans l’analyse de Vandermonde, et que, lorsque
est un nombre premier, toutes les racines sont représentées également par
par
(no 5).
Pour déterminer les valeurs de
en fonctions des coefficients de l’équation donnée, en quoi consiste toute la difficulté du problème, l’Auteur emploie un algorithme ingénieux, fondé sur une notation particulière il ne cherche pas a priori, comme nous l’avons fait, le degré de l’équation d’où cette détermination doit