38. Passé le quatrième degré, la méthode, quoique applicable en général, ne conduit plus qu’à des équations résolvantes de degrés supérieurs à celui de la proposée.
Pour le cinquième degré, soit la formule générale
![{\displaystyle x^{5}-\mathrm {A} x^{4}+\mathrm {B} x^{3}-\mathrm {C} x^{2}+\mathrm {D} x-\mathrm {E} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6691f7a30de2d634e728d5096c1664c629fda0f8)
dont les racines soient ![{\displaystyle x',x'',x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ada5dad69c02c1d91db3d93a20868d49bd0e0424)
On aura ici
nombre premier, et l’on fera
![{\displaystyle t=x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''+\alpha ^{3}x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\alpha ^{4}x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06c82c2d1729145b8771e56e26ab8dcb51720d8d)
où
est une des racines de l’équation
![{\displaystyle y^{5}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ac2d490d3823903944d14941d33d86d67dee755)
autre que l’unité.
On fera ensuite
et l’on parviendra à une équation en
du
la transformée en
est
![{\displaystyle \theta ^{3}+16\theta ^{2}-256\theta -(64)^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cbdf7f75b55111af5c2c81e85b45ba80c4096f6)
dont les racines sont
ce qui donne
![{\displaystyle {\sqrt {\theta '}}=4,\quad {\sqrt {\theta ''}}=4{\sqrt {-1}},\quad {\sqrt {\theta '''}}=4{\sqrt {-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b8db80730d4d63ebc9e2537b5c162a4d5f5e623)
La fonction
est
parce que
ainsi il faudrait prendre le premier système. On aurait d’abord
![{\displaystyle x'=1+2{\sqrt {-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02c9071f247febcde1420d3a3bea430ab6d50fd3)
qui ne satisfait pas. En effet,
![{\displaystyle \left(1+2{\sqrt {-1}}\right)^{2}=-3+4{\sqrt {-1}},\quad \left(-3+4{\sqrt {-1}}\right)^{2}=-7-24{\sqrt {-1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad0fe757d8a9e8cf5d5ec52c9a6027a6a94e084a)
ainsi l’équation serait
![{\displaystyle -7-24{\sqrt {-1}}-6+8{\sqrt {-1}}-8-16{\sqrt {-1}}+5=-16-32{\sqrt {-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57010d4524f196f915fe6a60e520810c6b773a00)
ce qui n’est pas zéro.
Le deuxième système donnerait
![{\displaystyle x'=-1-2{\sqrt {-1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a6b20314143959329e5030841cdd8e4497bbef0)
donc
![{\displaystyle -7-24{\sqrt {-1}}-6+8{\sqrt {-1}}+8+16{\sqrt {-1}}+5=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2680bb3e7bf2d3507ab3d7b80fa354a226e6935)
Mais je remarque que l’analyse donne simplement la condition
![{\displaystyle {\sqrt {\theta '}}{\sqrt {\theta ''}}{\sqrt {\theta '''}}=\mathrm {A^{3}-4AB+8C} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/267e12c18847d80fcab83b3de6d331ce924d775b)
d’où il suit que le produit des trois radicaux
doit être égal et par conséquent