trouveront exprimés par des fonctions invariables de
et seront déterminables en
34. Pour faciliter cette recherche, nous remarquerons que l’on a, par l’équation proposée,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} &=x'x''+x'x'''+x'x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+x''x'''+x''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\\&=\left(x'+x'''\right)\left(x''\ +x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)+x'x'''+x''\ x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\\&=\left(x'+x''\ \right)\left(x'''+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)+x'x''\ +x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\\&=\left(x'+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\left(x''\ +x'''\right)+x'x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+x''\ x''',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c6dccd41c57429ea13d9c2420ceee78ca35e913)
d’où il suit que, si l’on fait
l’équation en
se transformera en une équation en
dont les racines seront
![{\displaystyle x'x'''+x''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\quad x'x''+x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\quad x'x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+x''x'''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c09ddff38c22bbec21c5aeb1b44ee2ff21ee18fa)
Soit
![{\displaystyle \mathrm {R} =x'x'''+x''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+x'x''+x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+x'x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+x''x'''=\mathrm {B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41e363814afca77dd171f95cff0ebc0742c61c9b)
et l’on trouvera de la même manière, en employant les formules données dans la Note X, les valeurs suivantes :
![{\displaystyle \mathrm {S=AC-4D,\quad T=\left(A^{2}-4B\right)D+C^{2}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ee898697946c902d237a79ae7b1da35f2079b6b)
Désignons par
une quelconque des racines de l’équation en
![{\displaystyle u^{3}-\mathrm {B} u^{2}+\mathrm {\left(AC-4D\right)} u-\mathrm {\left(A^{2}-4B\right)} \mathrm {D} -\mathrm {C} ^{2}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9ee347bdf5b8631fc1de86af7df2523ef35a993)
on aura
et de là, en faisant
et
on aura
![{\displaystyle \theta '=\mathrm {A^{2}-2\xi '=A^{2}-4B} +4u',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4d3486e1d8ac852b4ecbf9bbead4dfa5458968b)
et enfin
![{\displaystyle \mathrm {X} '={\frac {\mathrm {A} +{\sqrt {\theta '}}}{2}},\quad \mathrm {X} ''={\frac {\mathrm {A} +{\sqrt {\theta '}}}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcfc3a689978dcd4b46cd771c444e522e4f97604)
35. Maintenant, comme
on peut regarder
et
comme les deux racines de l’équation du second degré (no 28)
![{\displaystyle x^{2}-\mathrm {X} 'x+\lambda =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/356fbe0502d78f181e9ab5b9978d87ae1b90db68)