dont, les deux racines étant prises pour
et
et substituées dans les expressions précédentes de
on aura la résolution la plus simple de l’équation du troisième degré.
33. Venons à l’équation du quatrième degré représentée par la formule
![{\displaystyle x^{4}-\mathrm {A} x^{3}+\mathrm {B} x^{2}-\mathrm {C} x+\mathrm {D} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e6d0d01a8972352f27322d58cf09be31ebfd61b)
Comme on a ici
il est plus simple de suivre la méthode du no 25 ; en faisant
on prendra pour
une racine de l’équation
![{\displaystyle y^{2}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b8d51923e87c6ffcd0823efdf89f7bdacabc1cd)
en sorte que
On fera ainsi
![{\displaystyle t=\mathrm {X} '+\alpha \mathrm {X} '',\quad \mathrm {X} '=x'+x''',\quad \mathrm {X} ''=x''+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/912e37baa33ef0daa1b3661c1c449794a6b00eb1)
De là, on aura
![{\displaystyle \theta =\xi ^{0}+\alpha \xi ',\quad {\text{et}}\quad \xi ^{0}=\mathrm {X'^{2}+X''^{2},\quad \xi '=2X'X''} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecab29e720a923df76d9891ddcc6a3545ffa03ed)
Ainsi l’équation en
, dont
est racine, ne sera que du degré
c’est-à-dire du premier degré, et ses coefficients ne dépendront que d’une équation du degré
(no 27), de sorte qu’on aura en
une équation du troisième degré, telle que
![{\displaystyle \xi '^{3}-\mathrm {M\xi '^{2}+N\xi '-P} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/431a9c5fc2bfd76a32f64e081d903db8015945ca)
Les racines de cette équation seront les valeurs de
![{\displaystyle \xi '=2\mathrm {X'X''} =2\left(x'+x'''\right)\left(x''+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/999a408aa49a258131948cf53fe66463cd9576cb)
qui proviendront des permutations entre les trois racines, et il est facile de voir en effet que ces valeurs ne seront que les trois suivantes :
![{\displaystyle {\begin{aligned}&2\left(x'+x'''\right)\left(x''\ +x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right),\\&2\left(x'+x''\ \right)\left(x'''+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right),\\&2\left(x'+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\left(x''\ +x'''\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bbbebe3bc8459a11a5c1a8988df798e253601cf)
D’après ces racines, on pourra former les coefficients
qui se