Et les deux quantités
seront (no 23) les racines de l’équation
![{\displaystyle y^{2}+y+1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/768b1b6d57ae9e24a33ff0f846b876a496dcaec1)
laquelle donne
![{\displaystyle \alpha ={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}},\quad \beta ={\frac {-1-{\sqrt {-3}}}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/390cd11763b9f17e93709acf105111ce00946a29)
32. Mais on peut avoir des expressions plus simples par le moyen de l’équation en
qui sera ainsi du second degré.
En représentant cette équation par
![{\displaystyle \theta ^{2}-\mathrm {T} \theta +\mathrm {U} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b8fc5e1bbd589db8726b96d9fae03a1ddfcdcd3)
on trouvera les valeurs de
et
par les formules données plus haut (no 21).
On aura ainsi
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {T} =&3\xi ^{0}-\mathrm {A} ^{3},\\\mathrm {U} =&{\frac {\mathrm {T} \left(3\xi ^{0}-\mathrm {A} ^{3}\right)}{2}}-{\frac {3\xi _{2}-\mathrm {A} ^{6}}{2}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82df326f5d20213c3ca0b619139b4dd6a79aff93)
où
est le premier terme dégagé de
dans le développement de
et l’on trouve, à cause de ![{\displaystyle \alpha ^{3}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ab76e23758f0b089dbc95c535821403779858df)
![{\displaystyle \xi _{2}=\left(\xi ^{0}\right)^{2}+2\xi '\xi ''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e330f4e11bdc472d2c15a6d2ccfc4197fefd389f)
Or on a (no 17)
![{\displaystyle \xi ^{0}=\mathrm {A} ^{3}-\xi '-\xi ''=\mathrm {A^{3}-M} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b54b2f28a3e0796c55bf1ff9dd7b5389688950b7)
donc, puisque
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {T=2A^{3}-3M} ,\\&\mathrm {U={\frac {T^{2}}{2}}-{\frac {3\left(A^{3}-M\right)^{2}+6N-A^{6}}{2}}} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ead923d5102fdf431aa24f612a8ac7c6e24ef75)
et, substituant les valeurs de
et
trouvées ci-dessus, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {T=2A^{3}-9AB+27C} ,\\&\mathrm {U=A^{6}-9A^{4}B+27A^{2}B^{2}-27B=\left(A^{2}-3B\right)^{3}} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3c8d6d2500691f01d700345b599ab487db9235e)
L’équation en
sera donc
![{\displaystyle \theta ^{2}-\mathrm {\left(2A^{3}-9AB+27C\right)\theta +\left(A^{2}-3B\right)^{3}} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d1e74a19ef15a2e71329e51e13d093b5fe49ecb)