à celle d’autant d’équations des degrésinférieurs
que l’exposant
a de facteurs premiers ; c’est ce que nous allons développer.
25. Supposons donc que l’équation
ait un diviseur
nous avons vu [(no 7) que toutes les racines de l’équation
sont communes à l’équation
ainsi, dans la fonction
![{\displaystyle t=x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''+\ldots +\alpha ^{m-1}x^{(m)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87375c849dd4830e07f10bf16cb341f86722dc85)
nous pourrons prendre pour
une des racines de l’équation
On aura alors
![{\displaystyle \alpha ^{n}=1,\ \ \alpha ^{n+1}=\alpha ,\ \ \alpha ^{n+2}=\alpha ^{2},\ \ \ldots ,\ \ \alpha ^{2n}=1,\ \ \alpha ^{2n+1}=\alpha ,\ \ \alpha ^{2n+2}=\alpha ^{2},\ \ \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e3ae35e9651ca7c8997cccc7febacc8713d3c7e)
jusqu’à
et l’expression de
se réduira à cette forme plus simple
![{\displaystyle t=\mathrm {X} '+\alpha \mathrm {X} ''+\alpha ^{2}\mathrm {X} '''+\ldots +\alpha ^{n-1}\mathrm {X} ^{(n)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21e0bdf643ec71107f3d991e7b4fed1450425840)
en faisant, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} '\ \ &=x'\ \ +x^{(n+1)}+x^{(2n+1)}+\ldots +x^{(m-n+1)},\\\mathrm {X} ''\ &=x''\ +x^{(n+2)}+x^{(2n+2)}+\ldots +x^{(m-n+2)},\\\mathrm {X} '''&=x'''+x^{(n+3)}+x^{(2n+3)}+\ldots +x^{(m-n+3)},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\mathrm {X} ^{(n)}&=x^{(n)}+x^{(2n)}\ +x^{(3n)}\quad +\ldots +x^{(m)}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0e9ad90a7a36c353d5229ee37d85734fbba702b)
Regardant maintenant les quantités
n) comme les racines d’une équation du degré
il est clair qu’on pourra appliquer à la fonction
les mêmes raisonnements qu’on a faits dans les nos 15 et 16, et qu’on parviendra à des conclusions semblables.
Ainsi, en faisant
on aura, à cause de
une expression de
de la forme
![{\displaystyle \theta =\xi ^{0}+\alpha \xi '+\alpha ^{2}\xi ''+\ldots +\alpha ^{n-1}\xi ^{(n-1)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f296cedf5e872a567bc06b699530d7e82f102345)
dans laquelle les quantités
seront des fonctions connues de
lesquelles auront la propriété d’être invariables par les échanges simultanés de
en
en
en ![{\displaystyle \mathrm {X} '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e9e4488b56bdfdfd36b3627ab915704ff8af710)