de leurs carrés, de leurs cubes, etc., d’où l’on tirera les sommes de leurs produits deux à deux, trois à trois, etc., par les formules données dans le Chapitre I (no 8), ainsi qu’il suit :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {T} =&m\xi ^{0}-\mathrm {A} ^{m},\\\mathrm {U} =&{\frac {\mathrm {T} (m\xi ^{0}-\mathrm {A} ^{m})}{2}}-{\frac {m\xi _{2}-\mathrm {A} ^{2m}}{2}},\\\mathrm {V} =&{\frac {\mathrm {U} (m\xi ^{0}-\mathrm {A} ^{m})}{3}}-{\frac {\mathrm {T} \left(m\xi _{2}-\mathrm {A} ^{2m}\right)}{3}}+{\frac {m\xi _{3}-\mathrm {A} ^{3m}}{3}},\\.\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ..\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb6ab07fa96f139385d3ad7c71df02c0ae2544ae)
22. Maintenant, si l’on fait dans les expressions des coefficients
en
toutes les permutations possibles entre ces racines
on ne trouvera pour chacun de ces coefficients que
permutations, provenant uniquement des permutations entre les
racines
Ainsi, on aura pour la détermination de
une équation de ce même degré, qu’on pourra former par le moyen de ses racines ; ensuite on trouvera les valeurs des autres coefficients
en fonctions rationnelles de
par la méthode donnée plus haut, relativement aux coefficients de l’équation en
(no 19).
Le problème se trouvera donc réduit à la résolution de l’équation en
du degré
laquelle sera toujours d’un degré plus haut que la proposée lorsque
sera au-dessus de
Il est possible que cette équation puisse être abaissée à un degré moindre, mais c’est de quoi il me paraît très-difficile, sinon impossible, de juger a priori.
23. À l’égard des racines
comme elles sont avec l’unité les racines de l’équation
![{\displaystyle y^{m}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35806756751614729ca42e9d38ff09f31533c7a7)
si l’on divise cette équation par
pour en éliminer la racine
on aura l’équation du degré ![{\displaystyle m-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecbbd201e0d8f1ccc91cb46362c4b72fa1bbe6c2)
![{\displaystyle y^{m-1}+y^{m-2}+y^{m-3}+\ldots +1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8b662e7def08012e25c51877ec65ffb92518502)
dont
seront les
racines.