ces racines ; car, comme les changements de place de
répondent aux substitutions de
au lieu de
et que la quantité
a disparu de l’équation en
il s’ensuit que, dans l’expression de ses coefficients, on pourra regarder
comme fixe, ainsi que
Sans employer la voie de l’élimination, on pourra parvenir, directement à cette équation en
au moyen de ses racines
dont l’expression est connue car, en représentant cette équation par
![{\displaystyle \theta ^{m-1}-\mathrm {T} \theta ^{m-2}+\mathrm {U} \theta ^{m-3}-\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e576a841245888c9badc8d97af202e12feebb47)
on aura, par les formules connues,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {T} =&\theta '\ \ \ \,+\theta ''\quad +\theta '''\quad +\ldots ,\\\mathrm {U} =&\theta '\theta ''+\theta '\theta '''+\theta ''\theta '''+\ldots ,\\.\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ba43eeea50fc35e8d83200674a13cb164cbaa09)
21. On pourra faciliter beaucoup la détermination de ces coefficients en les déduisant des sommes des puissances successives des racines
jusqu’à la
ième puissance. En effet, si l’on élève successivement le polynôme
![{\displaystyle \xi ^{0}+\alpha \xi '+\alpha ^{2}\xi ''+\alpha ^{3}\xi '''+\ldots +\alpha ^{m-1}\xi ^{(m-1)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/827d3351ad9ebb7e1ee5bc6407494b9059cf24b4)
aux puissances 2ième, 3ième, …, et qu’on dénote par
les termes de ces puissances qui ne seront point affectés de la quantité
après avoir substitué partout
pour
pour
et ainsi des autres ; que, de plus, on fasse pour l’uniformité
![{\displaystyle \theta ^{0}=\xi ^{0}+\xi '+\xi ''+\xi '''+\ldots +\xi ^{(m-1)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/426ee3f25a322581237942f11dc3d35b94191be7)
en sorte que les quantités
répondent aux racines
il est facile de voir qu’on aura, par les propriétés de ces racines exposées plus haut,
pour les sommes des puissances 1ère, 2ième, 3ième, … des quantités ![{\displaystyle \theta ^{0},\theta ',\theta '',\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/266725b0f05023241090092f689e9073107d1682)
Or
(no 17) ; donc, si l’on retranche respectivement des quantités
les puissances de
les restes
sont les sommes des
racines