Ces équations, étant ajoutées ensemble, donneront d’abord, par les propriétés des racines
(no 13),
![{\displaystyle x'={\frac {{\sqrt[{m}]{\theta ^{0}}}+{\sqrt[{m}]{\theta '}}+{\sqrt[{m}]{\theta ''}}+\ldots +{\sqrt[{m}]{\theta ^{(m-1)}}}}{m}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d724a2f2375d802ff4b58a713f90570d36ca8b9)
Ensuite, si on les multiplie respectivement par
et qu’on les ajoute de nouveau ensemble, on aura, par les mêmes propriétés,
![{\displaystyle x''={\frac {{\sqrt[{m}]{\theta ^{0}}}+\alpha ^{m-1}{\sqrt[{m}]{\theta '}}+\beta ^{m-1}{\sqrt[{m}]{\theta ''}}+\gamma ^{m-1}{\sqrt[{m}]{\theta '''}}+\ldots }{m}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4ff0bf18e2b2e8e1075c15bc294778fbed177e4)
On trouverait de la même manière
![{\displaystyle x'''={\frac {{\sqrt[{m}]{\theta ^{0}}}+\alpha ^{m-2}{\sqrt[{m}]{\theta '}}+\beta ^{m-2}{\sqrt[{m}]{\theta ''}}+\gamma ^{m-2}{\sqrt[{m}]{\theta '''}}+\ldots }{m}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a710b2d339dda958667cae094b917fb7a464bcd5)
et ainsi de suite.
17. Nous remarquerons sur ces formules que le terme
étant égal à la somme
des racines, est donné immédiatement par l’équation, de sorte qu’on a
(no 2), équation nécessairement identique, et qui pourrait servir, s’il en était besoin, à s’assurer de la bonté du calcul.
Il s’ensuit de là aussi que, comme
en faisant
on aura
![{\displaystyle \xi ^{0}+\xi '+\xi ''+\ldots +\xi ^{(m-1)}=\theta ^{0}=\mathrm {A} ^{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e315e6af8986d201b7da4116e0da107eebdfa59)
et par conséquent
![{\displaystyle \xi ^{0}=\mathrm {A} ^{m}-\xi '-\xi ''-\xi '''-\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79eba56e3e1bf7defbfc36c035f9dc0a095ba763)
valeur qui, étant substituée dans l’expression générale de
, la réduira à cette forme plus simple
![{\displaystyle \theta =\mathrm {A} ^{m}+(\alpha -1)\xi '+\left(\alpha ^{2}-1\right)\xi ''+\left(\alpha ^{3}-1\right)\xi '''+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca6ba749bc827191578f3b2d1846c0db89eb9ba2)
et l’on aura les valeurs de
en mettant les racines
de l’équation
![{\displaystyle y^{m-1}+y^{m-2}+y^{m-3}+\ldots +1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8b662e7def08012e25c51877ec65ffb92518502)
à la place de
(no 16).