produit
en donnant successivement à
toutes leurs valeurs, pourra représenter toutes les racines de l’équation
et que celles de ces racines qui seront exprimées par
en excluant l’unité des valeurs de
auront les mêmes propriétés que les racines de l’équation
lorsque
est un nombre premier.
Et ainsi de suite.
11. Mais, si l’on avait
étant un nombre premier, en prenant
pour une quelconque des racines de l’équation
il est clair que
serait aussi racine de l’équation
et que
le serait aussi. On prendrait donc, dans ce cas, pour
une quelconque des valeurs de
et l’on aurait également
pour l’expression de toutes les racines de
De même, si
en conservant les valeurs de
et
on ferait de plus
et l’on aurait
pour l’expression de toutes les racines de
en donnant successivement à
toutes leurs valeurs. Et ainsi de suite.
12. Donc, en général, si
et que
soient respectivement des racines quelconques des équations
![{\displaystyle y^{p}-1=0,\quad y^{q}-1=0,\quad y^{r}-1=0,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/292c8b4477a3cced4560a7ecc96495d2a71749ac)
étant des nombres premiers ; si l’on fait de plus
![{\displaystyle \beta '={\sqrt[{p}]{\beta }},\ \ \beta ''={\sqrt[{p}]{\beta '}},\ldots ,\ \ \gamma '={\sqrt[{q}]{\gamma }},\ \ \gamma ''={\sqrt[{q}]{\gamma '}},\ldots ,\ \ \delta '={\sqrt[{r}]{\delta }},\ \ \delta ''={\sqrt[{r}]{\delta '}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46a1411d9195345da47852a861f750b69bad0a92)
on aura
![{\displaystyle \beta \beta '\beta ''\ldots \times \delta \delta '\delta ''\ldots \times \delta \delta '\delta ''\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44f9b9ce295fb8caad013016d44c37e20038af15)
pour l’expression générale des racines de l’équation
en donnant successivement à
toutes les valeurs dont ces quantités sont susceptibles chacune en particulier.
On voit par là que, pour avoir les racines de l’équation à deux termes
lorsque
n’est pas un nombre premier, il suffit de résoudre des équations semblables des degrés dont les exposants soient les nombres premiers qui composent le nombre