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2. Considérons le produit de tous ces facteurs, excepté le premier $y-p\,;$ comme tous les termes de ces facteurs sont positifs, il est visible que leur produit, ordonné par rapport à $y,$ ne pourra contenir que des termes positifs. Le produit sera donc de la forme

$y^{m-1}+\mathrm {A} y^{m-2}+\mathrm {B} y^{m-3}+\ldots +\mathrm {K} ,$

où les coefficients $\mathrm {A,B,C,\ldots ,K}$ seront tous positifs, sans qu’aucun puisse être nul. Multiplions maintenant ce polynôme par le facteur $y-p,$ on aura

$y^{m}+(\mathrm {A} -p)y^{m-1}+(\mathrm {B-A} p)y^{m-2}+(\mathrm {C-B} p)y^{m-3}+\ldots -\mathrm {K} p=0,$

pour l’équation en $y.$

On voit ici que le dernier terme $-\mathrm {K} p$ est essentiellement négatif et que les termes précédents seront tous positifs si l’on a $\mathrm {A} >p,\ \mathrm {B>A} p,$ $\mathrm {C>B} p,\ldots .$ Comme en rapprochant la limite $a$ de la racine $\alpha$ la valeur de $p,$ qui est ${\frac {\alpha -a}{b-\alpha }},$ peut devenir aussi petite qu’on voudra, il est clair qu’on pourra toujours prendre $a$ telle que l’on ait $p<\mathrm {A} ,\ <\mathrm {\frac {B}{A}} ,\ <\mathrm {\frac {C}{B}} ,\ldots ,$ ce qui rendra tous les termes positifs, excepté le dernier.

On ne doit pas craindre qu’en diminuant ainsi la valeur de $p$ les valeurs de $q,r,\ldots ,$ $\mathrm {P,Q} ,\ldots$ diminuent en même temps, de manière à devenir nulles avec $p,$ car, en faisant $a=\alpha ,$ ce qui donne $p=0,$ la valeur de $q,$ qui est $-{\frac {\beta -a}{b-\beta }},$ deviendra

$-{\frac {\beta -\alpha }{b-\beta }},$

et les valeurs de $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} ,$ qui sont $-{\frac {(\rho -a)(b-\rho )-\sigma ^{2}}{(b-\rho )^{2}+\sigma ^{2}}}$ et ${\frac {(b-a)\sigma }{(b-\rho )^{2}+\sigma ^{2}}},$ deviendront

$-{\frac {(\rho -\alpha )(b-\rho )-\sigma ^{2}}{(b-\rho )^{2}+\sigma ^{2}}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {(b-\alpha )\sigma }{(b-\rho )^{2}+\sigma ^{2}}},$

et ainsi des autres.