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Mais on suppose que la partie réelle $\rho$ tombe aussi hors des limites $a$ et $b\,;$ donc, si $\rho <a,$ on aura aussi $\rho <b,$ par conséquent $\rho -a<0,$ $b-\rho >0,$ donc $(\rho -a)(b-\rho )<0\,;$ et, si $\rho >b,$ on aura aussi $\rho >a,$ donc $\rho -a>0,\ b-\rho <0,$ et par conséquent aussi $(\rho -a)(b-\rho )<0.$ Donc la quantité $(\rho -a)(b-\rho )$ sera dans tous les cas négative.

Donc, puisque $\sigma ^{2}$ et $(b-\rho )^{2}$ sont essentiellement des quantités positives, la racine ${\frac {\beta -a}{b-\beta }}$ deviendra, dans ce cas, de la forme

$-\mathrm {P+Q} {\sqrt {-1}},$

$\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ étant des quantités réelles, et $\mathrm {P}$ étant essentiellement positive. De même, en faisant $\gamma =\rho -\sigma {\sqrt {-1}},$ la racine ${\frac {\gamma -a}{b-\gamma }}$ deviendra

$-\mathrm {P-Q} {\sqrt {-1}},$

et ainsi des autres racines imaginaires.

Donc, en prenant des quantités positives $p,q,r,\ldots ,$ $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots ,$ les racines réelles de l’équation en $x$ donneront dans la transformée en $y$ les racines réelles

$p,\ \ -q,\ \ -r,\ \ \ldots ,$

et les racines imaginaires de la même équation donneront dans la transformée les racines

$-\mathrm {P+Q} {\sqrt {-1}},\quad -\mathrm {P-Q} {\sqrt {-1}},\quad -\mathrm {R+S} {\sqrt {-1}},\quad -\mathrm {R-S} {\sqrt {-1}},\quad \ldots .$

Donc la transformée en $y$ sera formée des facteurs

$y-p,\quad y+q,\quad y+r,\quad \ldots ,$

$y+\mathrm {P-Q} {\sqrt {-1}},\quad y+\mathrm {P+Q} {\sqrt {-1}},\quad y+\mathrm {R-S} {\sqrt {-1}},\quad y+\mathrm {R+S} {\sqrt {-1}},\quad \ldots .$

Or les deux facteurs imaginaires $y+\mathrm {P-Q} {\sqrt {-1}}$ et $y+\mathrm {P+Q} {\sqrt {-1}}$ donnent le facteur double réel

$y^{2}+2\mathrm {P} y+\mathrm {P^{2}+Q^{2}} ,$

et ainsi des autres. Donc l’équation en $y$ sera

$(y-p)(y+q)(y+r)\ldots \left(y^{2}+2\mathrm {P} y+\mathrm {P^{2}+Q^{2}} \right)\left(y^{2}+2\mathrm {R} y+\mathrm {R^{2}+S^{2}} \right)\ldots =0.$