Mais on suppose que la partie réelle
tombe aussi hors des limites
et
donc, si
on aura aussi
par conséquent
donc
et, si
on aura aussi
donc
et par conséquent aussi
Donc la quantité
sera dans tous les cas négative.
Donc, puisque
et
sont essentiellement des quantités positives, la racine
deviendra, dans ce cas, de la forme
![{\displaystyle -\mathrm {P+Q} {\sqrt {-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a51347eec676d0018b9d829af159c2114edc13bd)
et
étant des quantités réelles, et
étant essentiellement positive. De même, en faisant
la racine
deviendra
![{\displaystyle -\mathrm {P-Q} {\sqrt {-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4b2b985b6e11020407f145ad9bf1a4c083dd98c)
et ainsi des autres racines imaginaires.
Donc, en prenant des quantités positives
les racines réelles de l’équation en
donneront dans la transformée en
les racines réelles
![{\displaystyle p,\ \ -q,\ \ -r,\ \ \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a752d7a2113cf56f89baed174ab6b4444c7c2b2)
et les racines imaginaires de la même équation donneront dans la transformée les racines
![{\displaystyle -\mathrm {P+Q} {\sqrt {-1}},\quad -\mathrm {P-Q} {\sqrt {-1}},\quad -\mathrm {R+S} {\sqrt {-1}},\quad -\mathrm {R-S} {\sqrt {-1}},\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b728f6c399d3ebf24555fbc938aaf3293ed5b3e)
Donc la transformée en
sera formée des facteurs
![{\displaystyle y-p,\quad y+q,\quad y+r,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b93148aae3b944c5569a877d94c2aba46a84722)
![{\displaystyle y+\mathrm {P-Q} {\sqrt {-1}},\quad y+\mathrm {P+Q} {\sqrt {-1}},\quad y+\mathrm {R-S} {\sqrt {-1}},\quad y+\mathrm {R+S} {\sqrt {-1}},\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b139feed2a3de761678d650aa544ef7365fdcb5f)
Or les deux facteurs imaginaires
et
donnent le facteur double réel
![{\displaystyle y^{2}+2\mathrm {P} y+\mathrm {P^{2}+Q^{2}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aac65b475a49c3e87391c032f4639c2555056573)
et ainsi des autres. Donc l’équation en
sera
![{\displaystyle (y-p)(y+q)(y+r)\ldots \left(y^{2}+2\mathrm {P} y+\mathrm {P^{2}+Q^{2}} \right)\left(y^{2}+2\mathrm {R} y+\mathrm {R^{2}+S^{2}} \right)\ldots =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3cbb1061aa190079d4431621bc39145206817cf)