![{\displaystyle {\begin{aligned}q=&-\left({\frac {b'}{\alpha '}}\right)\operatorname {F} (a,b)-\left({\frac {b'}{\beta '}}\right)f(a,b)\\&+{\frac {1}{2}}\left({\frac {b''}{\beta '^{2}}}\right)\operatorname {F} ^{2}(a,b)+\left({\frac {b''}{\alpha '\beta '}}\right)\operatorname {F} (a,b)f(a,b)+{\frac {1}{2}}\left({\frac {b''}{\beta ''^{2}}}\right)f^{2}(a,b)+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f51a86fed27aee443b29531353250d31d9c96495)
où il n’y aura plus qu’à substituer les valeurs des fonctions partielles
qu’on tirera des équations
![{\displaystyle \operatorname {F} (a,b)=\alpha \quad {\text{et}}\quad f(a,b)=\beta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5467657dee6ee2ea2e496e7b343310df80e52ff9)
en prenant successivement les fonctions dérivées relativement à
et
et substituant à mesure les valeurs déjà trouvées dans les suivantes.
Ainsi l’on aura d’abord
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\left({\frac {\operatorname {F} '(a,b)}{\alpha '}}\right)=&1,\qquad &\left({\frac {\operatorname {F} '(a,b)}{\beta '}}\right)=&0,\\\left({\frac {f'(a,b)}{\alpha '}}\right)=&0,&\left({\frac {f'(a,b)}{\beta '}}\right)=&1.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0496c05e6ab9e737ce0afadd589255ad567ba1d)
Mais on a en général, relativement à
et
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {F} '(a,b)=&\left({\frac {\operatorname {F} '(a,b)}{a'}}\right)a'+\left({\frac {\operatorname {F} '(a,b)}{b'}}\right)b',\\f'(a,b)=&\left({\frac {f'(a,b)}{a'}}\right)a'+\left({\frac {f'(a,b)}{b'}}\right)b'\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2454334781cb380df01e2ec4ae4adcf6924fb1ab)
donc, en regardant
et
comme fonctions de
et
on aura, relativement à chacune de ces quantités en particulier,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\operatorname {F} '(a,b)}{\alpha '}}\right)=&\left({\frac {\operatorname {F} '(a,b)}{a'}}\right)\cdot \left({\frac {a'}{\alpha '}}\right)+\left({\frac {\operatorname {F} '(a,b)}{b'}}\right)\cdot \left({\frac {b'}{\alpha '}}\right)=1,\\\left({\frac {\operatorname {F} '(a,b)}{\beta '}}\right)=&\left({\frac {\operatorname {F} '(a,b)}{a'}}\right)\cdot \left({\frac {a'}{\beta '}}\right)+\left({\frac {\operatorname {F} '(a,b)}{b'}}\right)\cdot \left({\frac {b'}{\beta '}}\right)=0,\\\left({\frac {f'(a,b)}{\alpha '}}\right)=&\left({\frac {f'(a,b)}{a'}}\right)\cdot \left({\frac {a'}{\alpha '}}\right)+\left({\frac {f'(a,b)}{b'}}\right)\cdot \left({\frac {b'}{\alpha '}}\right)=0,\\\left({\frac {f'(a,b)}{\beta '}}\right)=&\left({\frac {f'(a,b)}{a'}}\right)\cdot \left({\frac {a'}{\beta '}}\right)+\left({\frac {f'(a,b)}{b'}}\right)\cdot \left({\frac {b'}{\beta '}}\right)=1,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b01b0d99985cac567f8767133b31d005a21136ff)