le simple développement des puissances
ièmes, puisque le radical
disparaît de lui-même, et d’ailleurs elle est déjà connue par le théorème de Moivre.
Pour vérifier l’autre partie, il faut réduire en série le radical lui-même. Ainsi, en faisant, par exemple,
la série devient
![{\displaystyle {\frac {b}{a}}-{\frac {c}{b}}-{\frac {2ac^{2}}{2b^{3}}}-{\frac {3.4a^{2}c^{4}}{2.3b^{5}}}-\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/904a78460cd883266db3b9cdbc28c7ec8c2a055f)
laquelle peut se mettre sous cette forme
![{\displaystyle {\frac {b}{2a}}+{\frac {b}{2a}}-{\frac {1}{2}}.{\frac {2c}{b}}+{\frac {1.1}{2.4}}.{\frac {8ac^{2}}{b^{3}}}-{\frac {1.1.3}{2.4.6}}.{\frac {32a^{2}c^{3}}{b^{5}}}-\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38ae340810b5607fd64f9b45a903254ea51aca5c)
Or cette série est évidemment égale à
![{\displaystyle {\frac {b}{2a}}+{\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5f15558c7203352cd8f59c33e7e0f1831352016)
18. Soit l’équation indéfinie
![{\displaystyle a-bx+cx^{2}-dx^{3}+ex^{4}-fx^{5}+\ldots =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4c7cbd35e08f096d4d1e142e4eebfb158fbcdc8)
on fera, dans la formule générale du théorème ci-dessus,
![{\displaystyle f(u)={\frac {cu^{2}-du^{3}+eu^{4}-fu^{5}+\ldots }{b}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6a94057fda2ed95b1c94f8bf859b65ae1bc797d)
d’où l’on tire
![{\displaystyle {\begin{aligned}f^{2}(u)=&{\frac {c^{2}u^{4}-2cdu^{5}+(d^{2}+2ce)u^{6}+\ldots }{b^{2}}},\\f^{3}(u)=&{\frac {c^{3}u^{6}-3cdu^{7}+\ldots }{b^{3}}},\\f^{4}(u)=&{\frac {c^{4}u^{8}-\ldots }{b^{4}}},\\..\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9984dd023663691f9377d8ac4a896baad248964)