sera exprimé par la série infinie
![{\displaystyle \Psi (u)+\Psi '(u)f(u)+\left[{\frac {\Psi '(u)f^{2}(u)}{2}}\right]'+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a378f0d671aaa5d0489472282ced18b926f0988c)
en faisant
divisé par
c’est-à-dire ![{\displaystyle \Psi (u)=u^{r}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd81f17828a851ade5152c6fd1d1e5ee33734783)
D’un autre côté,
étant un nombre infiniment grand, il est visible que les deux quantités ci-dessus se réduisent à leurs premiers termes
et
étant la plus petite des racines
Donc le quotient de la première des quantités divisée par la seconde se réduira à
d’où résulte ce théorème très-remarquable :
Si
est la plus petite des racines de l’équation
![{\displaystyle u-x+f(x)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6751db464980977e017e120b9e3df700b9d1c11)
on aura
![{\displaystyle \alpha ^{r}=u^{r}+\left(u^{r}\right)'f(u)+\left[{\frac {\left(u^{r}\right)'f^{2}(u)}{2}}\right]'+\left[{\frac {\left(u^{r}\right)'f^{3}(u)}{2.3}}\right]''+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b542f724f3c698219e2f944ce46e1a4f6781e69)
étant un nombre quelconque positif ou négatif.
Ainsi l’on a, par cette formule, non-seulement la racine
mais encore une puissance quelconque de la même racine.
16. Si l’on fait maintenant
étant un nombre fini quelconque, et que l’on compare cette formule avec celle qu’on a donnée plus haut pour la valeur de
on en tirera la conclusion suivante très-singulière :
Si, dans la formule
![{\displaystyle u^{-n}+\left(u^{-n}\right)'f(u)+\left[{\frac {\left(u^{-n}\right)'f^{2}(u)}{2}}\right]'+\left[{\frac {\left(u^{-n}\right)'f^{3}(u)}{2.3}}\right]''+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94500b3a242cf07cdf8c74cdd3d2504f9116e150)
on ne retient que les termes qui ont des puissances négatives de
elle donne la valeur de la somme des puissances
de toutes les racines
et, si l’on y conserve tous les termes, elle ne donnera que la même puissance de la plus petite racine