14. Or j’observe que toute série de cette forme, dans laquelle
et
sont des fonctions quelconques de
a cette propriété remarquable que, si on la multiplie par une autre série semblable, dans laquelle, à la place de la fonction
il y ait une autre fonction quelconque
le produit sera encore une série semblable, mais dans laquelle il y aura
à la place de
En effet, si l’on multiplie ensemble les deux séries
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Psi (u)+\Psi '(u)f(u)+\left[{\frac {\Psi '(u)f^{2}(u)}{2}}\right]'+\left[{\frac {\Psi '(u)f^{3}(u)}{2.3}}\right]''+\ldots ,\\\Pi (u)+\Pi '(u)f(u)+\left[{\frac {\Pi '(u)f^{2}(u)}{2}}\right]'+\left[{\frac {\Pi '(u)f^{3}(u)}{2.3}}\right]''+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02d775175abcc07756c5b9a68fd3e879b3c6a479)
on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Psi &(u)\Pi (u)\\&+\left[\Psi (u)\Pi '(u)+\Pi (u)\Psi '(u)\right]f(u)\\&+\Psi (u)\left[{\frac {\Pi '(u)f^{2}(u)}{2}}\right]'+\Psi '(u)\Pi '(u)f^{2}(u)\\&+\Pi (u)\left[{\frac {\psi '(u)f^{2}(u)}{2}}\right]',\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be20c0e06a911358f2f0160780ace7f6faa08e21)
Or
![{\displaystyle \Psi (u)\Pi '(u)+\Pi (u)\Psi '(u)=\left[\Psi (u)\Pi (u)\right]',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c9cef419e245fc7ccf95b65141f034735c831e4)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\frac {\Pi '(u)f^{2}(u)}{2}}\right]'=&{\frac {1}{2}}\Pi ''(u)f^{2}(u)+\Pi '(u)f(u)f'(u),\\\left[{\frac {\Psi '(u)f^{2}(u)}{2}}\right]'=&{\frac {1}{2}}\Psi ''(u)f^{2}(u)+\Psi '(u)f(u)f'(u)\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc4819b6df8abac94800cd2f687fa413a394170c)
donc la série devient
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Psi &(u)\Pi (u)+[\Psi (u)\Pi (u)]'f(u)\\&+{\frac {1}{2}}\left[\Psi (u)\Pi ''(u)+2\Psi '(u)\Pi '(u)+\Pi (u)\Psi ''(u)\right]f^{2}(u)\\&+\left[\Psi (u)\Pi (u)\right]'f(u)f'(u)+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccd0e848557f44fbc7535ebf22d2f22ad3f60aa7)
savoir
![{\displaystyle \Psi (u)\Pi (u)+\left[\Psi (u)\Pi (u)\right]'f(u)+\left\{{\frac {\left[\Psi (u)\Pi (u)\right]'f^{2}(u)}{2}}\right\}'+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09b3bd2a771cb9ba059f877cb2d8a162af687a11)