et, multipliant par
![{\displaystyle {\frac {\psi (x)\left[1-f'(x)\right]}{u-x+f(x)}}={\frac {\psi (x)}{\alpha -x}}+{\frac {\psi (x)}{\beta -x}}+{\frac {\psi (x)}{\gamma -x}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b009e548a9109edb0eba405df8cf1b309b559ad)
Or,
étant supposé une fonction entière de
on pourra la diviser par
jusqu’à ce qu’on parvienne à un reste sans
et, pour trouver tout de suite ce reste, il n’y a qu’à considérer que
est divisible par
le quotient étant une fonction entière de
et
que nous désignerons par
et, si
est une fonction du degré
il est clair que
sera du degré
Donc, puisque
![{\displaystyle \psi (\alpha )-\psi (x)=\operatorname {F} (x,\alpha ).(\alpha -x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c707ca5f0d14e35e1fd988945cb0e04441651529)
on aura
![{\displaystyle \psi (x)=\psi (\alpha )-\operatorname {F} (x,\alpha ).(\alpha -x)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4c93921e68b88ff90d7a388d971399e4643341c)
donc
![{\displaystyle {\frac {\psi (x)}{\alpha -x}}=-\operatorname {F} (x,\alpha )+{\frac {\psi (\alpha )}{\alpha -x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86ed4cc9f53860b6d1efefc2bfd472a4e6aef825)
On trouvera de même
![{\displaystyle {\frac {\psi (x)}{\beta -x}}=-\operatorname {F} (x,\beta )+{\frac {\psi (\beta )}{\beta -x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c3915585806adb761669ef87549145effaca139)
et ainsi des autres. Donc, en faisant ees substitutions, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\psi (x)\left[1-f'(x)\right]}{u-x+f(x)}}=&-\operatorname {F} (x,\alpha )-\operatorname {F} (x,\beta )-\operatorname {F} (x,\gamma )-\ldots \\&+{\frac {\psi (\alpha )}{\alpha -x}}+{\frac {\psi (\beta )}{\beta -x}}+{\frac {\psi (\gamma )}{\gamma -x}}+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/685fa62a2624e82a06df27ddf04d5ac571bb9066)
En résolvant ces fractions en séries, on aura, après les
premiers termes, dans lesquels se fondent les parties entières
une suite régulière dont le terme général sera
![{\displaystyle \left[{\frac {\psi (\alpha )}{\alpha ^{n+1}}}+{\frac {\psi (\beta )}{\beta ^{n+1}}}+{\frac {\psi (\gamma )}{\gamma ^{n+1}}}+\ldots \right]x^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59df9be6b75cfc987e843f093693cde8347e8718)
de sorte qu’on aura,
étant ![{\displaystyle >m,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06e606a381d5fa5ffb0bc46e9a132ca4b7b23fd9)
![{\displaystyle (n)={\frac {\psi (\alpha )}{\alpha ^{n+1}}}+{\frac {\psi (\beta )}{\beta ^{n+1}}}+{\frac {\psi (\gamma )}{\gamma ^{n+1}}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e376fd3f87cf1d3bf13fb65a6c76a08ed7a77718)