Donc
![{\displaystyle {\frac {1}{\alpha ^{n}}}+{\frac {1}{\beta ^{n}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d251891c7114f5a476d32dffb9db07545ff47c0)
![{\displaystyle u^{-n}-{\frac {nc}{b}}u^{-n+1}+{\frac {n(n-3)c^{2}}{2b^{2}}}u^{-n+2}-{\frac {n(n-5)(n-4)c^{3}}{2.3b^{3}}}u^{-n+3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edc677dd1f2fda5f0dd1faa17cf6f5f6ef9efc60)
où il n’y aura plus qu’à faire
On aura ainsi
![{\displaystyle {\frac {1}{\alpha ^{n}}}+{\frac {1}{\beta ^{n}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d251891c7114f5a476d32dffb9db07545ff47c0)
![{\displaystyle \left({\frac {b}{a}}\right)^{n}-{\frac {nc}{b}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{n-1}+{\frac {n(n-3)c^{2}}{2b^{2}}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{n-2}-{\frac {n(n-5)(n-4)c^{3}}{2.3b^{3}}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{n-3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a8bd18d635a87285f49095df984f02461a761dc)
en continuant cette série tant qu’il y aura de puissances positives de ![{\displaystyle {\frac {b}{a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ce05674bdb462f449549f54de5a49f2a4b8edc2)
Si l’on voulait avoir la somme des puissances positives
il n’y aurait qu’à considérer l’équation
![{\displaystyle ax^{2}-bx+c=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/731dd11e89c2d3baf6aa4ea1c96c4ff6667f12f7)
qui résulte de l’équation précédente, en changeant
en
et dont les racines sont par conséquent
et
ce qui ne demande que de changer
en
et
en
On aura donc ainsi
![{\displaystyle \alpha ^{n}+\beta ^{n}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26a042db449af60d01fa41455ba16015561dd474)
![{\displaystyle \left({\frac {b}{c}}\right)^{n}-{\frac {na}{b}}\left({\frac {b}{c}}\right)^{n-1}+{\frac {n(n-3)a^{2}}{2b^{2}}}\left({\frac {b}{c}}\right)^{n-2}-{\frac {n(n-5)(n-4)a^{3}}{2.3b^{3}}}\left({\frac {b}{c}}\right)^{n-3}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7b5876c6ef20e1c1e5d68d573368bd11b9ae538)
12. En général,
étant les racines de l’équation
![{\displaystyle u-x+f(x)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6751db464980977e017e120b9e3df700b9d1c11)
on aura
![{\displaystyle u-x+f(x)=k(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/772e50581e9d4ab1826804e7d6439a8dc5fdd4f9)
étant le coefficient de la plus haute puissance de
et prenant les fonctions dérivées de part et d’autre,
![{\displaystyle -1+f'(x)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0bdffdd72f6f38483850004e7655ad28721692c)
![{\displaystyle k(x-\beta )(x-\gamma )\ldots +k(x-\alpha )(x-\gamma )\ldots +k(x-\alpha )(x-\beta )\ldots +\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0f4227840cd82fe2e7e86592d600ab391c3988f)
donc, divisant et changeant les signes,
![{\displaystyle {\frac {1-f'(x)}{u-x+f(x)}}={\frac {1}{(\alpha -x)}}+{\frac {1}{(\beta -x)}}+{\frac {1}{(\gamma -x)}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f7244234b15274ba77674afde7b5f8c70e589c3)